Tableau de signe : méthode complète (polynôme, quotient, produit)

Pourquoi un tableau de signe ?

Pour résoudre une inéquation du type $f(x)\ge 0$, étudier les variations d'une fonction (signe de $f^{\prime }$), ou trouver le domaine d'une racine carrée : le tableau de signe est l'outil universel.

Méthode générale (4 étapes)

1. Factoriser l'expression au maximum.
2. Trouver les zéros de chaque facteur.
3. Construire le tableau : ligne par facteur, colonne par intervalle.
4. Multiplier les signes ligne par ligne pour obtenir le signe final.

Cas 1 — Polynôme du second degré

Pour $f(x)=a{x}^2+bx+c$ :

• Calcule $\Delta =b^2-4ac$.
• Si $\Delta >0$ : deux racines $x_1<x_2$. Signe : signe de $a$ à l'extérieur des racines, opposé entre.
• Si $\Delta =0$ : signe de $a$ partout sauf en $x_0$ (nul).
• Si $\Delta <0$ : signe de $a$ partout.

Exemple résolu

Étudier le signe de $f(x)=\frac{x^2-3x+2}{x-4}$.

Étape 1 — Factoriser. $x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$.

Donc $f(x)=\frac{(x-1)(x-2)}{x-4}$.

Étape 2 — Zéros. $x=1,x=2,x=4$ (et $x=4$ exclu du domaine).

Étape 3 — Tableau (lecture).

$x$	$-\infty$	1	2	4	$+\infty$
$x-1$	$-$	0	$+$	$+$	$+$
$x-2$	$-$	$-$	0	$+$	$+$
$x-4$	$-$	$-$	$-$	0	$+$
$f(x)$	$-$	0	$+$	0	$+$

Étape 4 — Conclusion. $f(x)\ge 0$ sur $[1,2]\cup ]4,+\infty [$.

Cas 2 — Produit/quotient de facteurs

Règle des signes : positif × positif = positif, négatif × négatif = positif, positif × négatif = négatif.

Pour un quotient : même règle, mais on exclut les zéros du dénominateur (double barre verticale dans le tableau).

Pièges

• Oublier d'exclure les zéros du dénominateur du domaine.
• Inverser le signe quand on multiplie une inéquation par un nombre négatif.
• Mal lire le tableau : la ligne finale, c'est le produit des signes de toutes les lignes.

Application : inéquation $f(x)>0$

On lit directement les intervalles où la ligne finale du tableau affiche $+$.

Voir aussi : étudier le signe d'une expression.