الدوال والنهايات والاتصال في باكالوريا العلوم الرياضية: دليل شامل

لماذا يعتبر هذا الفصل ركيزة التحليل في باكالوريا العلوم الرياضية

النهايات والاتصال يتدخلان في 100 % من مواضيع باكالوريا العلوم الرياضية: دراسة الدوال، المتتاليات، التكاملات، المعادلات. أي ثغرة هنا تُسقط كل ما تبقى. هذا الدليل يمنحك المنهجية الممنهجة لرفع أي نهاية وتطبيق مبرهنة القيم المتوسطة بشكل صحيح.

I. النهايات المرجعية التي يجب حفظها عن ظهر قلب

كثيرات الحدود والدوال الكسرية

• عند $\pm \infty$، يتصرف كثير الحدود مثل حده ذي الدرجة الأعلى.
• تتصرف الدالة الكسرية مثل خارج قسمة الحدود ذات الدرجة الأعلى.

النهايات المرجعية (يجب حفظها)

• $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$
• $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}$
• $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\tan x}{x}=1$
• $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln (1+x)}{x}=1$
• $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-1}{x}=1$
• $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\ln x}{x}=0$ و $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{e^x}{x}=+\infty$ (النمو المقارن)
• $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }x\ln x=0$ و $\underset{x\to -\infty }{\lim }x{e}^x=0$

II. الحالات الأربع غير المحددة وكيفية رفعها

الحالات الأربع غير المحددة هي: $\frac{0}{0}$، $\frac{\infty }{\infty }$، $\infty -\infty$، $0\times \infty$. إليك الاستراتيجية لكل حالة.

الحالة غير المحددة $\frac{0}{0}$ (نموذجية بالقرب من نقطة منتهية)

الطريقة: وضع $(x-a)$ عاملا مشتركا في البسط والمقام، أو استعمال النهايات المرجعية، أو الكمية المرافقة إذا كانت هناك جذور.

مثال: $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^2-1}{x-1}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=\underset{x\to 1}{\lim }(x+1)=2$.

الحالة غير المحددة $\frac{\infty }{\infty }$ (نموذجية عند $\pm \infty$)

الطريقة: وضع الحد المهيمن عاملا مشتركا في البسط والمقام معا.

مثال: $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{3x^2+2x-1}{x^2-5}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^2(3+2/x-1/x^2)}{x^2(1-5/x^2)}=3$.

الحالة غير المحددة $\infty -\infty$

الطريقة 1: وضع الحد المهيمن عاملا مشتركا.
الطريقة 2: الضرب في الكمية المرافقة (إذا كانت هناك جذور).

مثال: $\underset{x\to +\infty }{\lim }(\sqrt{x^2+x}-x)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{(\sqrt{x^2+x}-x)(\sqrt{x^2+x}+x)}{\sqrt{x^2+x}+x}=\lim \frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}=\frac{1}{2}$.

الحالة غير المحددة $0\times \infty$

الطريقة: التحويل إلى $\frac{0}{0}$ أو $\frac{\infty }{\infty }$ (الانتقال إلى المقلوب).

مثال: $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }x\ln x$. نضع $u=1/x$: $\underset{u\to +\infty }{\lim }\frac{\ln (1/u)}{u}=-\lim \frac{\ln u}{u}=0$.

III. مبرهنة الحصر (التأطير)

النص: إذا كان لكل $x$ قريب من $a$ (أو عند $\pm \infty$)، $g(x)\le f(x)\le h(x)$ وكان $\lim g(x)=\lim h(x)=\ell$، فإن $\lim f(x)=\ell$.

التطبيق النموذجي: تحديد حد أعلى $|f(x)-\ell |\le u(x)$ مع $\lim u(x)=0$. مفيدة كلما وُجد $\sin$ أو $\cos$.

مثال: $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\sin x}{x}$. لدينا $-\frac{1}{x}\le \frac{\sin x}{x}\le \frac{1}{x}$، الحدان يؤولان إلى 0، إذن النهاية تساوي 0.

IV. اتصال دالة

التعريف

$f$ متصلة عند $a$ إذا كان $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=f(a)$.

المبرهنات الأساسية

• مجموع، جداء، خارج قسمة (حيث المقام ≠ 0)، مركبة دوال متصلة = دالة متصلة.
• كثيرات الحدود، الدوال الكسرية (على مجال تعريفها)، $\sin ,\cos ,\exp ,\ln ,\sqrt{\cdot }$ متصلة على مجالات تعريفها.

الامتداد بالاتصال

إذا لم تكن $f$ معرفة عند $a$ لكن $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=\ell$ موجودة ومنتهية، يمكن امتداد $f$ بوضع $\tilde{f}(a)=\ell$. الامتداد $\tilde{f}$ متصل عند $a$.

V. مبرهنة القيم المتوسطة

النص: إذا كانت $f$ متصلة على $[a,b]$ وكان $k$ محصورا بين $f(a)$ و $f(b)$، فإنه يوجد $c\in [a,b]$ بحيث $f(c)=k$.

النتيجة (مبرهنة القيم المتوسطة الصارمة / التقابل)

إذا كانت $f$ متصلة وتقابلية قطعا على $[a,b]$ (أو مجال)، فإنه لكل $k\in [f(a),f(b)]$ (أو $[f(b),f(a)]$)، يوجد وحيد $c\in [a,b]$ بحيث $f(c)=k$.

التطبيق الكلاسيكي جدا في باكالوريا العلوم الرياضية

"بين أن المعادلة $f(x)=0$ تقبل حلا وحيدا على $I$."

التحرير النموذجي:

1. $f$ متصلة على $I$ (التبرير: مجموع دوال متصلة، كثير حدود، إلخ.).
2. $f$ تقابلية قطعا على $I$ (استعمال $f^{\prime }>0$ أو $f^{\prime }<0$).
3. $f(a)\cdot f(b)<0$ (أو تغيير الإشارة).
4. حسب مبرهنة القيم المتوسطة الصارمة، يوجد وحيد $c\in ]a,b[$ بحيث $f(c)=0$.

أكثر 10 أخطاء شيوعا حول النهايات والاتصال

1. كتابة "$\frac{0}{0}=0$" أو "$\frac{\infty }{\infty }=1$" (خطأ، هذه حالات غير محددة).
2. نسيان النهاية من اليسار / من اليمين عندما تختلفان.
3. تطبيق مبرهنة القيم المتوسطة دون تبرير الاتصال.
4. تطبيق مبرهنة القيم المتوسطة الصارمة دون تبرير التقابلية القطعية.
5. نسيان أنه يوجد حل وحيد (كتابة "يوجد حل" فقط).
6. الخلط بين "النهاية غير موجودة" و"النهاية لانهائية".
7. حساب $\lim (f+g)=\lim f+\lim g$ عندما تكون إحدى النهايات لانهائية دون احتياط ($\infty -\infty$).
8. نسيان القيم المطلقة عند وضع $x^2$ عاملا مشتركا (موجب) مقابل $x$ (يتغير إشارته).
9. تطبيق مبرهنة نهاية مركبة دون التحقق من الاتصال.
10. نسيان الوحدانية في مبرهنة القيم المتوسطة الصارمة (مطلوبة غالبا).

خطة الدراسة (أسبوع واحد)

• اليوم 1: حفظ النهايات المرجعية عن ظهر قلب + الحالات الأربع غير المحددة.
• اليوم 2-3: 12 تمرينا "رفع حالة غير محددة" (3 لكل نوع).
• اليوم 4: مبرهنة الحصر (5 تمارين).
• اليوم 5: الامتداد بالاتصال، دراسة الاتصال (4 تمارين).
• اليوم 6-7: مبرهنة القيم المتوسطة وتطبيقاتها (5 تمارين نموذج الباكالوريا).

انظر أيضا: دراسة دالة، حساب نهاية.