تحويل عبارة مثلثية إلى شكل خطي: الطريقة

لماذا التخطيط؟

التخطيط يسمح بتحويل تعبير صعب التكامل (مثل ${\cos }^{2}x$) إلى مجموع سهل التكامل ($\frac{1+\cos (2x)}{2}$).

الصيغ الأساسية

• ${\cos }^{2}x=\frac{1+\cos (2x)}{2}$
• ${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos (2x)}{2}$
• $\cos x\sin x=\frac{\sin (2x)}{2}$

تخطيط الجداءات

• $\cos a\cos b=\frac{1}{2}[\cos (a-b)+\cos (a+b)]$
• $\sin a\sin b=\frac{1}{2}[\cos (a-b)-\cos (a+b)]$
• $\sin a\cos b=\frac{1}{2}[\sin (a+b)+\sin (a-b)]$

مثال — تخطيط ${\cos }^{4}x$

${\cos }^{4}x=({\cos }^{2}x{)}^2={\left(\frac{1+\cos (2x)}{2}\right)}^2$

$=\frac{1+2\cos (2x)+{\cos }^2(2x)}{4}$

نخطط ${\cos }^2(2x)=\frac{1+\cos (4x)}{2}$ :

$=\frac{1+2\cos (2x)+\frac{1+\cos (4x)}{2}}{4}=\frac{3+4\cos (2x)+\cos (4x)}{8}$

طريقة صيغ Moivre (الشكل الأسي)

بالنسبة لقوى $\sin$ أو $\cos$ ذات أس صحيح مرتفع، نستعمل:

$\cos x=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2},\sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$

نرفع إلى القوة $n$، ننشر بواسطة ذات الحدين لـ Newton، نجمع الحدود في $e^{ikx}$ و $e^{-ikx}$ لإعادة تشكيل $\cos$ و $\sin$.

مثال — تخطيط ${\sin }^{3}x$ بالأسيات

${\sin }^{3}x={\left(\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\right)}^3=\frac{(e^{ix}-e^{-ix}{)}^3}{-8i}$

$(e^{ix}-e^{-ix}{)}^3=e^{3ix}-3e^{ix}+3e^{-ix}-e^{-3ix}$

$=(e^{3ix}-e^{-3ix})-3(e^{ix}-e^{-ix})=2i\sin (3x)-3\cdot 2i\sin x$

$=2i(\sin (3x)-3\sin x)$

إذن ${\sin }^{3}x=\frac{2i(\sin (3x)-3\sin x)}{-8i}=\frac{3\sin x-\sin (3x)}{4}$

تطبيق مباشر: التكامل

$\int {\cos }^{2}xdx=\int \frac{1+\cos (2x)}{2}dx=\frac{x}{2}+\frac{\sin (2x)}{4}+C$

بدون التخطيط، كان هذا التكامل سيكون صعبا.

أخطاء شائعة

• الخلط بين $\cos (2x)$ و $2\cos x$ : مختلفان تماما.
• نسيان المعامل $1/2$ في صيغ التخطيط.
• نشر $(e^{ix}\pm e^{-ix}{)}^n$ بشكل خاطئ باستعمال ذات الحدين.

انظر أيضا: بطاقة المتطابقات المثلثية.