Linéariser une expression trigonométrique : méthode

Pourquoi linéariser ?

Linéariser permet de transformer une expression difficile à intégrer (comme ${\cos }^{2}x$) en une somme facile à intégrer ($\frac{1+\cos (2x)}{2}$).

Les formules de base

• ${\cos }^{2}x=\frac{1+\cos (2x)}{2}$
• ${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos (2x)}{2}$
• $\cos x\sin x=\frac{\sin (2x)}{2}$

Linéarisation des produits

• $\cos a\cos b=\frac{1}{2}[\cos (a-b)+\cos (a+b)]$
• $\sin a\sin b=\frac{1}{2}[\cos (a-b)-\cos (a+b)]$
• $\sin a\cos b=\frac{1}{2}[\sin (a+b)+\sin (a-b)]$

Exemple — Linéariser ${\cos }^{4}x$

${\cos }^{4}x=({\cos }^{2}x{)}^2={\left(\frac{1+\cos (2x)}{2}\right)}^2$

$=\frac{1+2\cos (2x)+{\cos }^2(2x)}{4}$

Linéarise ${\cos }^2(2x)=\frac{1+\cos (4x)}{2}$ :

$=\frac{1+2\cos (2x)+\frac{1+\cos (4x)}{2}}{4}=\frac{3+4\cos (2x)+\cos (4x)}{8}$

Méthode avec formules de Moivre (forme exponentielle)

Pour les puissances de $\sin$ ou $\cos$ avec exposant entier élevé, on utilise :

$\cos x=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2},\sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$

Élève à la puissance $n$, développe avec le binôme de Newton, regroupe les termes en $e^{ikx}$ et $e^{-ikx}$ pour reformer des $\cos$ et $\sin$.

Exemple — Linéariser ${\sin }^{3}x$ par exponentielles

${\sin }^{3}x={\left(\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\right)}^3=\frac{(e^{ix}-e^{-ix}{)}^3}{-8i}$

$(e^{ix}-e^{-ix}{)}^3=e^{3ix}-3e^{ix}+3e^{-ix}-e^{-3ix}$

$=(e^{3ix}-e^{-3ix})-3(e^{ix}-e^{-ix})=2i\sin (3x)-3\cdot 2i\sin x$

$=2i(\sin (3x)-3\sin x)$

Donc ${\sin }^{3}x=\frac{2i(\sin (3x)-3\sin x)}{-8i}=\frac{3\sin x-\sin (3x)}{4}$

Application directe : intégration

$\int {\cos }^{2}xdx=\int \frac{1+\cos (2x)}{2}dx=\frac{x}{2}+\frac{\sin (2x)}{4}+C$

Sans linéariser, cette intégrale aurait été difficile.

Pièges

• Confondre $\cos (2x)$ et $2\cos x$ : très différents.
• Oublier le facteur $1/2$ dans les formules de linéarisation.
• Mal développer $(e^{ix}\pm e^{-ix}{)}^n$ avec le binôme.

Voir aussi : fiche identités trigonométriques.