العد والاحتمالات: منهجية الباكالوريا

الأسئلة الثلاثة التي يجب طرحها

هل الترتيب مهم؟ إذا كنت تسحب البطاقات واحدة تلو الأخرى، نعم. إذا كنت تسحب مجموعة دفعة واحدة، لا.
السحب مع أو بدون إرجاع؟ مع الإرجاع: يمكن إعادة الاستعمال. بدون إرجاع: كل عنصر يظهر مرة واحدة فقط.
هل جميع العناصر متمايزة؟ يؤثر على العدد الإجمالي للحالات الممكنة.

$P (A ∣ B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( B )}$ : احتمال $A$ بمعلومية $B$ .

الاستقلالية : $A$ و $B$ مستقلان ⇔ $P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B)$ .

صيغة Bayes : $P (A ∣ B) = \frac{P ( B ∣ A ) \cdot P ( A )}{P ( B )}$ ، مفيدة لعكس الشرط.

$X \sim B (n, p)$ يعد عدد النجاحات في $n$ تجربة مستقلة باحتمال $p$ لكل واحدة.

$P (X = k) = C_{n}^{k} \cdot p^{k} \cdot (1 - p)^{n - k}$ من أجل $k \in {0, 1, \dots, n}$ .
$E (X) = n p$ (الأمل الرياضي).
$V (X) = n p (1 - p)$ (التباين)، $σ (X) = n p (1 - p)$ .

صندوق يحتوي على 7 كرات حمراء و 3 سوداء. نسحب 4 كرات في آن واحد. ما احتمال الحصول على كرتين حمراوين بالضبط؟

سحب في آن واحد ⇒ غير مرتب ⇒ توافيق.

العدد الإجمالي للسحوبات: $C_{10}^{4} = 210$ .

عدد السحوبات الملائمة: اختيار كرتين حمراوين من بين 7 ( $C_{7}^{2} = 21$ ) وكرتين سوداوين من بين 3 ( $C_{3}^{2} = 3$ ). أي $21 \times 3 = 63$ .

الاحتمال: $P = \frac{63}{210} = \frac{3}{10}$ .

الخلط بين الترتيب والتوفيق: الترتيب = مرتب، التوفيق = غير مرتب.
نسيان صيغة $C_{n}^{k} + C_{n}^{k + 1} = C_{n + 1}^{k + 1}$ (Pascal) التي تبسط غالبا.
سوء تفسير «على الأقل» و«على الأكثر»: «نجاح واحد على الأقل» = $1 - P (X = 0)$ .

المزيد من التمارين في درس الباكالوريا فصل «الاحتمالات والعد».