Dénombrement et probabilités : méthode 2BAC

Les 3 questions à se poser

1. L'ordre compte-t-il ? Si tu tires des cartes une à une, oui. Si tu tires une poignée d'un coup, non.
2. Tirage avec ou sans remise ? Avec remise : on peut réutiliser. Sans remise : chaque élément n'apparaît qu'une fois.
3. Tous les éléments sont-ils distincts ? Affecte le nombre total de cas possibles.

Les 4 formules à connaître

Situation	Formule
Tirage ordonné avec remise	$n^p$
Tirage ordonné sans remise	$A_n^p=\frac{n!}{(n-p)!}$ (arrangement)
Permutation de $n$ éléments	$n!$
Choix non ordonné de $p$ parmi $n$	$C_n^p=\frac{n!}{p!(n-p)!}$ (combinaison)

Probabilités conditionnelles

$P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$ : probabilité de $A$ sachant $B$.

Indépendance : $A$ et $B$ indépendants ⇔ $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$.

Formule de Bayes : $P(A|B)=\frac{P(B|A)\cdot P(A)}{P(B)}$, utile pour inverser le conditionnement.

Loi binomiale $\mathcal{B}(n,p)$

$X\sim \mathcal{B}(n,p)$ compte le nombre de succès en $n$ épreuves indépendantes de probabilité $p$ chacune.

• $P(X=k)=C_n^k\cdot p^k\cdot (1-p{)}^{n-k}$ pour $k\in \{0,1,\dots ,n\}$.
• $E(X)=np$ (espérance).
• $V(X)=np(1-p)$ (variance), $\sigma (X)=\sqrt{np(1-p)}$.

Exemple résolu

Une urne contient 7 boules rouges et 3 noires. On tire 4 boules simultanément. Probabilité d'avoir exactement 2 rouges ?

Tirage simultané ⇒ non ordonné ⇒ combinaisons.

Nombre total de tirages : $C_{10}^4=210$.

Nombre de tirages favorables : choisir 2 rouges parmi 7 ($C_7^2=21$) et 2 noires parmi 3 ($C_3^2=3$). Soit $21\times 3=63$.

Probabilité : $P=\frac{63}{210}=\frac{3}{10}$.

Pièges à éviter

• Confondre arrangement et combinaison : arrangement = ordonné, combinaison = non ordonné.
• Oublier la formule $C_n^k+C_n^{k+1}=C_{n+1}^{k+1}$ (Pascal) qui simplifie souvent.
• Mal interpréter « au moins » et « au plus » : « au moins 1 succès » = $1-P(X=0)$.

Plus d'exercices dans le cours 2BAC chapitre « Probabilités et dénombrement ».