Comment factoriser un polynôme : 4 méthodes

Méthode 1 — Racine évidente

Teste les petites valeurs : $0,1,-1,2,-2$, puis les diviseurs du terme constant.

Si $P(a)=0$, alors $(x-a)$ est un facteur. Tu peux écrire $P(x)=(x-a)\cdot Q(x)$.

Exemple : $P(x)=x^3-3x^2+4$. Teste : $P(2)=8-12+4=0$. Donc $(x-2)$ est facteur.

Méthode 2 — Division euclidienne

Une fois la racine $a$ trouvée, divise $P(x)$ par $(x-a)$ pour obtenir $Q(x)$.

Suite de l'exemple : $x^3-3x^2+4=(x-2)(x^2-x-2)$. Puis factorise $x^2-x-2=(x-2)(x+1)$.

Donc $P(x)=(x-2{)}^2(x+1)$.

Méthode 3 — Schéma de Horner (plus rapide que la division)

Pour $P(x)=a_n{x}^n+\dots +a_0$ divisé par $(x-r)$ :

$a_n$	$a_{n-1}$	$\dots$	$a_0$
$b_n=a_n$	$b_{n-1}=a_{n-1}+r\cdot b_n$	$\dots$	$b_0=a_0+r\cdot b_1$ (reste)

Le quotient est $b_n{x}^{n-1}+b_{n-1}{x}^{n-2}+\dots +b_1$, et $b_0$ est le reste (= 0 si $r$ est racine).

Méthode 4 — Identités remarquables

À reconnaître immédiatement :

• $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$
• $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$
• $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$
• $(a+b{)}^3=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$

Voir la fiche complète.

Cas du second degré $a{x}^2+bx+c$

Calcule $\Delta =b^2-4ac$ :

• $\Delta >0$ : $P(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ avec $x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}$.
• $\Delta =0$ : $P(x)=a(x-x_0{)}^2$ avec $x_0=-b/(2a)$.
• $\Delta <0$ : non factorisable dans $\mathbb{R}$ (mais oui dans $\mathbb{C}$ avec $i\sqrt{|\Delta |}$).

Stratégie générale au bac

1. Regarde le degré : si 2, $\Delta$. Si plus, cherche une racine évidente.
2. Une fois la racine $a$ trouvée, divise par $(x-a)$ (Horner si tu es rapide).
3. Itère sur le quotient jusqu'à atteindre du degré 1 ou 2.
4. Pour le degré 2 restant, applique $\Delta$.

Entraîne-toi sur les exercices du 1BAC SM chapitre polynômes.