التكامل بالتجزيء: طريقة الباكالوريا

الصيغة

$a \int b u^{'} (x) \cdot v (x) d x = [u (x) \cdot v (x)]_{a}^{b} - a \int b u (x) \cdot v^{'} (x) d x$

القاعدة الذهبية: من يُشتق ومن يُكامل؟

حيلة LIATE (ترتيب الأولوية لاختيار $v$ الذي يُشتق):

Lوغاريتم ( $ln$ )
Iالدوال المثلثية العكسية ( $arctan$ ، إلخ.)
Aلجبرية ( $x^{n}$ )
Tالدوال المثلثية ( $sin$ ، $cos$ )
Eالدالة الأسية ( $e^{x}$ )

الحد الذي يظهر أولاً في LIATE = $v$ (يُشتق). الآخر = $u^{'}$ (يُكامل).

مثال 1 — $\int x e^{x} d x$

حسب LIATE: $x$ (جبرية) قبل $e^{x}$ (أسية). إذن $v = x$ و $u^{'} = e^{x}$ .

إذن $v^{'} = 1$ و $u = e^{x}$ .

$\int x e^{x} d x = x \cdot e^{x} - \int 1 \cdot e^{x} d x = x e^{x} - e^{x} + C = (x - 1) e^{x} + C$ .

مثال 2 — $1 \int e ln (x) d x$

حيلة: اكتب $ln (x) = 1 \cdot ln (x)$ . حسب LIATE: $v = ln (x)$ و $u^{'} = 1$ .

إذن $v^{'} = 1/ x$ و $u = x$ .

$1 \int e ln (x) d x = [x ln (x)]_{1}^{e} - 1 \int e x \cdot \frac{1}{x} d x = (e \cdot 1 - 0) - (e - 1) = 1$ .

متى نطبق التكامل بالتجزيء عدة مرات؟

إذا حصلت بعد تكامل بالتجزيء على جداء من جديد $\int x^{k} \cdot e^{x}$ أو $\int x^{k} \cdot sin x$ ، أعد التكامل بالتجزيء. تنقص في كل مرة درجة $x^{k}$ حتى تصل إلى $\int e^{x} = e^{x} + C$ .

حيلة متقدمة: "التكامل بالتجزيء الدوري"

بالنسبة لـ $\int e^{x} sin (x) d x$ وما شابه، بعد تطبيقين للتكامل بالتجزيء، تعود إلى التكامل الأصلي. تضع $I = \int e^{x} sin (x) d x$ ، تطبق التكامل بالتجزيء مرتين، تحصل على $I = f (x) - I$ ، ومنه $I = f (x) /2$ .

الأخطاء الشائعة

اختيار $v$ و $u^{'}$ بشكل خاطئ: إذا أصبح التكامل أكثر تعقيداً بعد التجزيء، فقد عكست الاختيار. أعد المحاولة.
نسيان القوس $[uv]_{a}^{b}$ في التكامل المحدود بالتجزيء.
الخلط في الإشارات: هي ناقص $\int u v^{'}$ ، وليس زائد.

المزيد من التمارين في فصل التكاملات الباكالوريا.