الأعداد المركبة: الصيغة الجبرية والصيغة المثلثية والصيغة الأسية

الأشكال الثلاثة للعدد المركب

• الشكل الجبري : $z=a+ib$ حيث $a,b\in \mathbb{R}$. $a$ = الجزء الحقيقي، $b$ = الجزء التخيلي.
• الشكل المثلثي : $z=r(\cos \theta +i\sin \theta )$ حيث $r=|z|$ و $\theta =\arg (z)$.
• الشكل الأسي : $z=r{e}^{i\theta }$. مختصر وأنيق.

المعيار والعمدة

بالنسبة لـ $z=a+ib$ :

• $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$
• $\arg (z)=\theta$ بحيث $\cos \theta =\frac{a}{|z|}$ و $\sin \theta =\frac{b}{|z|}$.

الانتقال بين الأشكال

من الجبري إلى المثلثي : احسب $|z|$، استنتج $\theta$ عبر $\cos$ و $\sin$.

من المثلثي إلى الجبري : $a=r\cos \theta$، $b=r\sin \theta$.

الأسي ↔ المثلثي : $e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$ (صيغة Euler).

مثال

ليكن $z=1+i$.

• $|z|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$.
• $\cos \theta =\frac{1}{\sqrt{2}}$ و $\sin \theta =\frac{1}{\sqrt{2}}$، إذن $\theta =\frac{\pi }{4}$.
• الشكل المثلثي : $z=\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi }{4}+i\sin \frac{\pi }{4}\right)$.
• الشكل الأسي : $z=\sqrt{2}{e}^{i\pi /4}$.

العمليات في الشكل الأسي

• الجداء : $r_1{e}^{i{\theta }_1}\cdot r_2{e}^{i{\theta }_2}=r_1{r}_2{e}^{i({\theta }_1+{\theta }_2)}$.
• القسمة : $\frac{r_1{e}^{i{\theta }_1}}{r_2{e}^{i{\theta }_2}}=\frac{r_1}{r_2}{e}^{i({\theta }_1-{\theta }_2)}$.
• القوة (Moivre) : $(r{e}^{i\theta }{)}^n=r^n{e}^{in\theta }$.

المرافق والمقلوب

• $\overline{a+ib}=a-ib$، $\overline{r{e}^{i\theta }}=r{e}^{-i\theta }$.
• $z\cdot \overline{z}=|z{|}^2$.
• $\frac{1}{z}=\frac{\overline{z}}{|z{|}^2}$.

الأخطاء الشائعة

• الخلط بين $\overline{z}$ و $-z$. المرافق يغير إشارة الجزء التخيلي فقط.
• نسيان أن $\arg (z)$ معرفة modulo $2\pi$.
• وضع $z$ بشكل خاطئ في المستوى : إذا كان الجزء الحقيقي سالبا، فإن العمدة تكون في $]\pi /2,\pi ]$ أو $]-\pi ,-\pi /2[$.

للتدرب : درس الأعداد المركبة للسنة الثانية باكالوريا العلوم الرياضية.