الأعداد المركبة: الدليل الشامل لباكالوريا العلوم الرياضية بالمغرب

لماذا هذا الفصل حاسم في باكالوريا العلوم الرياضية

تمثل الأعداد العقدية من 15 إلى 20% من الامتحان الوطني للرياضيات في السنة الثانية باكالوريا علوم رياضية. إنه أحد الفصول النادرة التي يمكن فيها استهداف العلامة الكاملة 20/20 في التمرين بأكمله، شريطة إتقان الأشكال الثلاثة والهندسة العقدية بشكل تام.

I. الأشكال الثلاثة للعدد العقدي (تذكير واضح جداً)

1. الشكل الجبري

$z = a + ib$ حيث $a, b \in R$ .

$a = Re (z)$ : الجزء الحقيقي
$b = Im (z)$ : الجزء التخيلي
$i^{2} = - 1$

2. الشكل المثلثي

$z = r (cos θ + i sin θ)$ حيث $r > 0$ و $θ \in R$ .

$r = ∣ z ∣ = a^{2} + b^{2}$ : المعيار
$θ = ar g (z)$ : العمدة (محددة modulo $2 π$ )

3. الشكل الأسي

$z = r e^{i θ}$ (رمز أويلر، مكافئ للشكل المثلثي).

II. الانتقال بين الأشكال (المنعكس الذي يجب أتمتته)

من الجبري إلى المثلثي/الأسي

احسب $r = a^{2} + b^{2}$ .
ابحث عن $θ$ بحيث $cos θ = a / r$ و $sin θ = b / r$ .
حدد الربع انطلاقاً من إشارتي $a$ و $b$ .

مثال محلول: $z = 1 - i 3$

$r = 1 + 3 = 2$ .

$cos θ = 1/2$ و $sin θ = - 3 /2$ . بما أن $sin θ < 0$ و $cos θ > 0$ ، فنحن في الربع الرابع: $θ = - π /3$ .

إذن $z = 2 (cos (- π /3) + i sin (- π /3)) = 2 e^{- iπ /3}$ .

III. العمليات في الشكل الأسي (السحر)

الجداء: $r_{1} e^{i θ_{1}} \cdot r_{2} e^{i θ_{2}} = r_{1} r_{2} e^{i (θ_{1} + θ_{2})}$
القسمة: $\frac{r _{1} e ^{i θ_{1}}}{r _{2} e ^{i θ_{2}}} = \frac{r _{1}}{r _{2}} e^{i (θ_{1} - θ_{2})}$
القوة (موافر): $(r e^{i θ})^{n} = r^{n} e^{in θ}$
المرافق: $\overline{r e^{i θ}} = r e^{- i θ}$

IV. الهندسة العقدية (غالباً ما تُهمل ← 3 نقاط ضائعة)

لكل نقطة $M (a, b)$ في المستوى يقابلها لاحق $z_{M} = a + ib$ .

المسافات والزوايا

$A B = ∣ z_{B} - z_{A} ∣$
$(A B, A C) = ar g (\frac{z _{C} - z _{A}}{z _{B} - z _{A}}) [2 π]$

الدوران

دوران مركزه $Ω$ (لاحقه $ω$ ) وزاويته $θ$ :

$z^{'} - ω = e^{i θ} (z - ω)$

التحاكي المباشر

مركزه $Ω$ ، نسبته $k > 0$ ، زاويته $θ$ :

$z^{'} - ω = k e^{i θ} (z - ω)$

الاختبارات الهندسية

$A, B, C$ على استقامة واحدة ⇔ $\frac{z _{C} - z _{A}}{z _{B} - z _{A}} \in R$
$(A B) ⊥ (C D)$ ⇔ $\frac{z _{D} - z _{C}}{z _{B} - z _{A}} \in i R$
$A B C D$ متوازي أضلاع ⇔ $z_{A} + z_{C} = z_{B} + z_{D}$

V. الجذور النونية للواحد (تقنية متقدمة لكن كلاسيكية)

الجذور النونية للعدد 1 هي الأعداد العقدية الـ $n$ التالية: $z_{k} = e^{2 ik π / n}$ حيث $k = 0, 1, \dots, n - 1$ .

خصائص أساسية:

تشكل مضلعاً منتظماً بـ $n$ رؤوس مرسوماً في الدائرة الوحدة.
مجموعها يساوي $0$ عندما $n \geq 2$ .
جداؤها يساوي $(- 1)^{n + 1}$ .

الجذور النونية لعدد عقدي أي كان

لحل $z^{n} = w$ حيث $w = ρ e^{i α}$ ، الحلول هي:

$z_{k} = n ρ e^{i (α + 2 k π) / n}$ حيث $k = 0, 1, \dots, n - 1$ .

VI. المعادلات من الدرجة الثانية في $C$

بالنسبة لـ $a z^{2} + b z + c = 0$ حيث $a, b, c$ أعداد حقيقية و $Δ = b^{2} - 4 a c$ :

إذا كان $Δ > 0$ : جذران حقيقيان.
إذا كان $Δ = 0$ : جذر حقيقي مضاعف واحد.
إذا كان $Δ < 0$ : جذران عقديان مرافقان: $z = \frac{- b \pm i ∣Δ∣}{2 a}$ .

مثال نموذجي من الباكالوريا

السؤال: حل في $C$ المعادلة $z^{2} - 2 z + 5 = 0$ .

الحل: $Δ = 4 - 20 = - 16 < 0$ . $∣Δ∣ = 4$ .

$z_{1} = \frac{2 + 4 i}{2} = 1 + 2 i$ و $z_{2} = \overline{z_{1}} = 1 - 2 i$ .

$S = {1 + 2 i, 1 - 2 i}$

VII. استراتيجية الامتحان: كيف تتعامل مع تمرين الأعداد العقدية في الباكالوريا

اقرأ التمرين كاملاً في دقيقة واحدة لتحديد الخط الموجه (غالباً: الانتقال من الجبري إلى الأسي، ثم الهندسة).
سجل النقط ولواحقها على المسودة.
السؤال 1 (غالباً حساب مباشر): تحليل، مرافق، معيار. لا تتجاوزه أبداً.
السؤال 2 (تحويل): انتقل إلى الشكل الأسي إذا طُلب حساب قوة، أو إذا كان السؤال هندسياً.
السؤال 3-4 (هندسة): حدد التحويل (دوران، تحاكي، إزاحة) بحساب $\frac{z ^{'} - ω}{z - ω}$ أو $z^{'} - z$ .

VIII. أكثر 10 أخطاء شيوعاً في الباكالوريا حول الأعداد العقدية

نسيان أن $i^{2} = - 1$ في حساب ما.
الخلط بين المرافق والمعاكس: $\overline{z} = a - ib$ ، وليس $- z$ .
نسيان أن $ar g (z)$ محددة modulo $2 π$ .
ربع خاطئ عند حساب العمدة.
كتابة $∣ z ∣ = a^{2} + b^{2}$ بدلاً من $a^{2} + b^{2}$ .
تطبيق خاطئ لموافر: $(cos θ + i sin θ)^{n} = cos (n θ) + i sin (n θ)$ ، وليس $cos^{n} θ$ .
الخلط بين الدوران المباشر وغير المباشر.
نسيان المركز في دوران: $z^{'} - ω = e^{i θ} (z - ω)$ .
كتابة خاطئة للجذور النونية (نسيان $2 k π / n$ ).
الاستنتاج دون التحقق من النتيجة بالتعويض في المعادلة الأصلية.

IX. سؤال تدريبي

ليكن $z = - 1 + i$ . اكتب $z$ في الشكل الأسي، ثم احسب $z^{12}$ .

الجواب المنتظر: $z = 2 e^{i 3 π /4}$ ، إذن $z^{12} = 2^{6} e^{i 9 π} = 64 e^{iπ} = - 64$ .

للتدرب على المواضيع السابقة، اذهب إلى مواضيع الامتحان الوطني 2BAC SM.