فيثاغورس وطاليس في الإعدادي: المنهجية والأخطاء الشائعة

مبرهنة فيثاغورس

النص. في مثلث $ABC$ قائم الزاوية في $A$، لدينا:

$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2$

الوتر (أكبر ضلع، المقابل للزاوية القائمة) مربعه يساوي مجموع مربعي الضلعين الآخرين.

مقلوب مبرهنة فيثاغورس (لإثبات زاوية قائمة)

إذا كان في مثلث $ABC$، لدينا $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2$، فإن المثلث قائم الزاوية في $A$.

مثال فيثاغورس

مثلث $ABC$ قائم الزاوية في $A$، حيث $AB=3$ cm و $AC=4$ cm. احسب $BC$.

$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2=9+16=25$. إذن $BC=5$ cm.

مثال المقلوب

مثلث $ABC$ حيث $AB=5$، $AC=12$، $BC=13$. هل هو قائم الزاوية؟

أكبر ضلع هو $BC=13$. الحساب: $A{B}^2+A{C}^2=25+144=169=13^2=B{C}^2$.

حسب المقلوب، $ABC$ قائم الزاوية في $A$ (الرأس المقابل لأكبر ضلع).

مبرهنة طاليس

النص. ليكن $ABC$ مثلثا، $M$ نقطة من $(AB)$ و $N$ نقطة من $(AC)$. إذا كان $(MN)$ موازيا لـ $(BC)$، فإن:

$\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}$

مخطط طاليس

لدينا مستقيمان متقاطعان (يمران من $A$) يقطعهما مستقيمان متوازيان. نسب القطع متساوية.

مثال طاليس

مثلث $ABC$ حيث $M$ على $[AB]$ بحيث $AM=3$ و $AB=5$. $(MN)//(BC)$، $N$ على $[AC]$. احسب $AN$ علما أن $AC=8$.

$\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}$ إذن $\frac{3}{5}=\frac{AN}{8}$، ومنه $AN=\frac{24}{5}=4.8$.

مقلوب مبرهنة طاليس (لإثبات التوازي)

إذا كان $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}$ و كانت $M,B$ من نفس جهة $A$ على المستقيم $(AB)$ و $N,C$ من نفس جهة $A$ على $(AC)$، فإن $(MN)//(BC)$.

الأخطاء الشائعة

• فيثاغورس: نسيان التحقق من أن المثلث قائم الزاوية قبل التطبيق.
• فيثاغورس: الخلط بين الوتر وضلع آخر. الوتر هو الضلع المقابل للزاوية القائمة.
• طاليس: تطبيق طاليس دون التحقق من التوازي.
• طاليس: تطابق خاطئ للرؤوس. دائما اكتب $\frac{AM}{AB}$ وليس $\frac{AM}{MB}$.
• الوحدات: عدم خلط cm، mm، m. كل شيء بنفس الوحدة قبل الحساب.

متى نستعمل ماذا؟

• فيثاغورس: حساب الأطوال في مثلث قائم الزاوية.
• مقلوب فيثاغورس: إثبات أن مثلثا قائم الزاوية.
• طاليس: حساب الأطوال مع مستقيمين متوازيين.
• مقلوب طاليس: إثبات أن مستقيمين متوازيان.

المزيد من التمارين: فصل فيثاغورس وطاليس 3AC.