Pythagore et Thalès au collège : méthode et pièges

Théorème de Pythagore

Énoncé. Dans un triangle $A B C$ rectangle en $A$ , on a :

$B C^{2} = A B^{2} + A C^{2}$

L'hypoténuse (le plus grand côté, opposé à l'angle droit) a son carré égal à la somme des carrés des deux autres côtés.

Réciproque de Pythagore (pour prouver un angle droit)

Si dans un triangle $A B C$ , on a $B C^{2} = A B^{2} + A C^{2}$ , alors le triangle est rectangle en $A$ .

Exemple Pythagore

Triangle $A B C$ rectangle en $A$ , avec $A B = 3$ cm et $A C = 4$ cm. Calculer $B C$ .

$B C^{2} = A B^{2} + A C^{2} = 9 + 16 = 25$ . Donc $B C = 5$ cm.

Exemple réciproque

Triangle $A B C$ avec $A B = 5$ , $A C = 12$ , $B C = 13$ . Est-il rectangle ?

Le plus grand côté est $B C = 13$ . Calcul : $A B^{2} + A C^{2} = 25 + 144 = 169 = 1 3^{2} = B C^{2}$ .

D'après la réciproque, $A B C$ est rectangle en $A$ (le sommet opposé au plus grand côté).

Théorème de Thalès

Énoncé. Soit $A B C$ un triangle, $M$ un point de $(A B)$ et $N$ un point de $(A C)$ . Si $(M N)$ est parallèle à $(B C)$ , alors :

$\frac{A M}{A B} = \frac{A N}{A C} = \frac{M N}{B C}$

Schéma de Thalès

On a deux droites sécantes (passant par $A$ ) coupées par deux droites parallèles. Les rapports des segments sont égaux.

Exemple Thalès

Triangle $A B C$ avec $M$ sur $[A B]$ tel que $A M = 3$ et $A B = 5$ . $(M N) // (B C)$ , $N$ sur $[A C]$ . Calculer $A N$ sachant $A C = 8$ .

$\frac{A M}{A B} = \frac{A N}{A C}$ donc $\frac{3}{5} = \frac{A N}{8}$ , d'où $A N = \frac{24}{5} = 4.8$ .

Réciproque de Thalès (pour prouver le parallélisme)

Si $\frac{A M}{A B} = \frac{A N}{A C}$ et que $M, B$ sont du même côté de $A$ sur la droite $(A B)$ et $N, C$ du même côté de $A$ sur $(A C)$ , alors $(M N) // (B C)$ .

Pièges classiques

Pythagore : oublier de vérifier que le triangle est rectangle avant d'appliquer.
Pythagore : confondre l'hypoténuse avec un autre côté. L'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit.
Thalès : appliquer Thalès sans avoir vérifié le parallélisme.
Thalès : mauvaise correspondance des sommets. Toujours écrire $\frac{A M}{A B}$ et pas $\frac{A M}{M B}$ .
Unités : ne pas mélanger cm, mm, m. Tout dans la même unité avant le calcul.

Quand utiliser quoi ?

Pythagore : calculs de longueurs dans un triangle rectangle.
Réciproque Pythagore : prouver qu'un triangle est rectangle.
Thalès : calculs de longueurs avec deux droites parallèles.
Réciproque Thalès : prouver que deux droites sont parallèles.

Plus d'exercices : chapitre Pythagore et Thalès 3AC.