المتتاليات المتجاورة: التعريف، الطريقة، أمثلة

التعريف

متتاليتان $(u_{n})$ و $(v_{n})$ متجاورتان إذا كان:

$(u_{n})$ متزايدة.
$(v_{n})$ متناقصة.
$n \to + \infty lim (v_{n} - u_{n}) = 0$ .

المبرهنة الأساسية

إذا كانت $(u_{n})$ و $(v_{n})$ متجاورتين، فإن:

كلتاهما تقاربان نحو نفس النهاية $L$ .
من أجل كل $n$ : $u_{n} \leq L \leq v_{n}$ .

لماذا هذه المبرهنة قوية؟

إنها تثبت وجود نهاية دون الحاجة إلى حسابها. وهذا مفيد بشكل خاص للأعداد "المتسامية" مثل $π$ أو $e$ .

مثال كلاسيكي: حصر العدد $e$

نعرّف:

$u_{n} = k = 0 \sum n \frac{1}{k !} = 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \dots + \frac{1}{n !}$ .
$v_{n} = u_{n} + \frac{1}{n \cdot n !}$ .

نبرهن أن:

$(u_{n})$ متزايدة (نضيف حدودا موجبة).
$(v_{n})$ متناقصة (حساب مباشر).
$v_{n} - u_{n} = \frac{1}{n \cdot n !} \to 0$ .

إذن المتتاليتان متجاورتان، وتقاربان نحو نفس النهاية. هذه النهاية هي بالضبط $e$ .

طريقة إثبات التجاور

احسب $u_{n + 1} - u_{n}$ وبيّن أنه $\geq 0$ (إذن $(u_{n})$ متزايدة).
احسب $v_{n + 1} - v_{n}$ وبيّن أنه $\leq 0$ .
احسب $v_{n} - u_{n}$ وبيّن أن النهاية تساوي $0$ .

تطبيق: حصر جذر

لتقريب الجذر $α$ للمعادلة $f (x) = 0$ (حيث $f$ متصلة ورتيبة قطعا)، نبني متتاليتين متجاورتين بطريقة التنصيف: في كل مرحلة، نضيّق الحصر بتقسيم المجال إلى نصفين.

$u_{n}$ = الحد الأدنى للحصر.
$v_{n}$ = الحد الأعلى للحصر.
$v_{n} - u_{n} = \frac{v _{0} - u _{0}}{2 ^{n}} \to 0$ .

أخطاء شائعة

الخلط بين التجاور والتقارب البسيط نحو نفس النهاية: تنقص حينها شروط الرتابة.
نسيان إثبات الشروط الثلاثة معا.
الاستنتاج أن $(u_{n}) \to L$ دون إثبات أن $(v_{n} - u_{n}) \to 0$ .

المزيد من التمارين: درس المتتاليات باكالوريا العلوم الرياضية.