Suites adjacentes : définition, méthode, exemples

Définition

Deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes si :

1. $(u_n)$ est croissante.
2. $(v_n)$ est décroissante.
3. $\underset{n\to +\infty }{\lim }(v_n-u_n)=0$.

Théorème fondamental

Si $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes, alors :

• Elles convergent toutes les deux vers la même limite $L$.
• Pour tout $n$ : $u_n\le L\le v_n$.

Pourquoi ce théorème est puissant ?

Il prouve l'existence d'une limite sans avoir à la calculer. C'est particulièrement utile pour les nombres "transcendants" comme $\pi$ ou $e$.

Exemple classique : encadrement de $e$

Définissons :

• $u_n=\sum _{k=0}^n\frac{1}{k!}=1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\dots +\frac{1}{n!}$.
• $v_n=u_n+\frac{1}{n\cdot n!}$.

On montre :

• $(u_n)$ est croissante (on ajoute des termes positifs).
• $(v_n)$ est décroissante (calcul direct).
• $v_n-u_n=\frac{1}{n\cdot n!}\to 0$.

Les deux suites sont donc adjacentes, et convergent vers une même limite. Cette limite est précisément $e$.

Méthode pour prouver l'adjacence

1. Calcule $u_{n+1}-u_n$ et montre que c'est $\ge 0$ (donc $(u_n)$ croît).
2. Calcule $v_{n+1}-v_n$ et montre que c'est $\le 0$.
3. Calcule $v_n-u_n$ et montre que la limite est $0$.

Application : encadrement d'une racine

Pour approcher la racine $\alpha$ de $f(x)=0$ (avec $f$ continue strictement monotone), on construit deux suites adjacentes par dichotomie : à chaque étape, on resserre l'encadrement en coupant l'intervalle en deux.

• $u_n$ = borne inférieure de l'encadrement.
• $v_n$ = borne supérieure.
• $v_n-u_n=\frac{v_0-u_0}{2^n}\to 0$.

Pièges

• Confondre adjacence et simple convergence vers la même limite : il manque alors les conditions de monotonie.
• Oublier de prouver les 3 conditions ENSEMBLE.
• Conclure $(u_n)\to L$ sans avoir prouvé $(v_n-u_n)\to 0$.

Plus d'exercices : chapitre suites 2BAC SM.