Théorème de la bijection (TVI + monotonie)

Énoncé

Soit $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ une fonction continue et strictement monotone.

Alors, pour tout $k\in [f(a),f(b)]$ (ou $[f(b),f(a)]$ si décroissante), l'équation $f(x)=k$ admet une unique solution dans $[a,b]$.

Pourquoi ça marche ?

• Existence (TVI) : $f$ continue ⇒ prend toutes les valeurs intermédiaires.
• Unicité (monotonie) : $f$ strictement croissante ou décroissante ⇒ chaque valeur est atteinte au plus une fois.

Application classique : équation $f(x)=0$

Si $f(a)\cdot f(b)<0$ (changement de signe) et $f$ continue strictement monotone sur $[a,b]$ : il existe un unique $\alpha \in ]a,b[$ tel que $f(\alpha )=0$.

Exemple résolu

Énoncé. Soit $f(x)=x^3+x-1$. Montrer qu'il existe un unique $\alpha \in ]0,1[$ tel que $f(\alpha )=0$.

Étape 1 — Continuité. $f$ est polynôme, donc continue sur $\mathbb{R}$.

Étape 2 — Monotonie. $f^{\prime }(x)=3x^2+1>0$ pour tout $x$. Donc $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

Étape 3 — Changement de signe. $f(0)=-1<0$ et $f(1)=1>0$.

Conclusion. D'après le théorème de la bijection appliqué à $f$ continue strictement croissante sur $[0,1]$ avec $f(0)<0<f(1)$, il existe un unique $\alpha \in ]0,1[$ tel que $f(\alpha )=0$.

Encadrement de la solution (méthode de dichotomie)

Une fois l'existence prouvée, on encadre $\alpha$ par dichotomie : on coupe l'intervalle en deux, et on garde la moitié où il y a changement de signe.

Pour $f(x)=x^3+x-1$ :

• $f(0.5)=0.125+0.5-1=-0.375<0$ → $\alpha \in ]0.5,1[$.
• $f(0.75)=0.421+0.75-1=0.171>0$ → $\alpha \in ]0.5,0.75[$.
• Etc.

Pièges

• Oublier de prouver la continuité.
• Oublier de prouver la stricte monotonie (pas juste monotone).
• Mal poser l'intervalle : $\alpha \in ]a,b[$ (ouvert), pas $[a,b]$.
• Conclure "unique" sans avoir vérifié la monotonie stricte.

Pour pratiquer : chapitre continuité 2BAC SM.