مبرهنة التقابل (مبرهنة القيم المتوسطة + الرتابة)

الصيغة

لتكن $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ دالة متصلة ورتيبة قطعا.

إذن، من أجل كل $k\in [f(a),f(b)]$ (أو $[f(b),f(a)]$ إذا كانت تناقصية)، تقبل المعادلة $f(x)=k$ حلا وحيدا في $[a,b]$.

لماذا ينجح هذا؟

• الوجود (مبرهنة القيم المتوسطة): $f$ متصلة ⇒ تأخذ جميع القيم المتوسطة.
• الوحدانية (الرتابة): $f$ تزايدية قطعا أو تناقصية قطعا ⇒ كل قيمة تُبلغ مرة واحدة على الأكثر.

تطبيق كلاسيكي: المعادلة $f(x)=0$

إذا كان $f(a)\cdot f(b)<0$ (تغيير في الإشارة) و $f$ متصلة رتيبة قطعا على $[a,b]$: يوجد $\alpha \in ]a,b[$ وحيد بحيث $f(\alpha )=0$.

مثال محلول

الصيغة. لتكن $f(x)=x^3+x-1$. بين أنه يوجد $\alpha \in ]0,1[$ وحيد بحيث $f(\alpha )=0$.

الخطوة 1 — الاتصال. $f$ كثير حدود، إذن متصلة على $\mathbb{R}$.

الخطوة 2 — الرتابة. $f^{\prime }(x)=3x^2+1>0$ من أجل كل $x$. إذن $f$ تزايدية قطعا على $\mathbb{R}$.

الخطوة 3 — تغيير الإشارة. $f(0)=-1<0$ و $f(1)=1>0$.

الخلاصة. حسب مبرهنة التقابل المطبقة على $f$ المتصلة التزايدية قطعا على $[0,1]$ مع $f(0)<0<f(1)$، يوجد $\alpha \in ]0,1[$ وحيد بحيث $f(\alpha )=0$.

حصر الحل (طريقة المنصف)

بمجرد إثبات الوجود، نحصر $\alpha$ بطريقة المنصف: نقسم المجال إلى نصفين، ونحتفظ بالنصف الذي يحدث فيه تغيير في الإشارة.

بالنسبة لـ $f(x)=x^3+x-1$:

• $f(0.5)=0.125+0.5-1=-0.375<0$ ← $\alpha \in ]0.5,1[$.
• $f(0.75)=0.421+0.75-1=0.171>0$ ← $\alpha \in ]0.5,0.75[$.
• إلخ.

أخطاء شائعة

• نسيان إثبات الاتصال.
• نسيان إثبات الرتابة القطعية (وليس فقط الرتابة).
• الخطأ في تحديد المجال: $\alpha \in ]a,b[$ (مفتوح)، وليس $[a,b]$.
• الاستنتاج بـ"الوحدانية" دون التحقق من الرتابة القطعية.

للتمرن: فصل الاتصال باكالوريا العلوم الرياضية.