مبرهنة رول ومبرهنة التزايدات المنتهية

مبرهنة رول

لتكن $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ بحيث:

1. $f$ متصلة على $[a,b]$.
2. $f$ قابلة للاشتقاق على $]a,b[$.
3. $f(a)=f(b)$.

إذن يوجد $c\in ]a,b[$ بحيث $f^{\prime }(c)=0$.

التفسير الهندسي

إذا أخذت الدالة نفس القيمة في نقطتين، فإنه يوجد على الأقل نقطة وسيطة حيث يكون المماس أفقيا (ميل منعدم).

مثال رول

بين أنه يوجد $c\in ]0,\pi [$ بحيث ${\cos }^{\prime }(c)=0$.

$f(x)=\cos (x)$ متصلة وقابلة للاشتقاق على $\mathbb{R}$.

$f(0)=1$ و $f(\pi )=-1$ : غير متساويتين! إذن مبرهنة رول لا تنطبق مباشرة هنا.

لنأخذ $f(x)=\cos (x)-\cos (0)=\cos (x)-1$ على $[0,2\pi ]$ : $f(0)=0$ و $f(2\pi )=0$. مبرهنة رول تنطبق. يوجد $c\in ]0,2\pi [$ بحيث $f^{\prime }(c)=-\sin (c)=0$، إذن $c=\pi$.

مبرهنة التزايدات المنتهية

لتكن $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ متصلة على $[a,b]$ وقابلة للاشتقاق على $]a,b[$.

إذن يوجد $c\in ]a,b[$ بحيث:

$f(b)-f(a)=(b-a)\cdot f^{\prime }(c)$

التفسير الهندسي

يوجد نقطة $c$ حيث يكون المماس موازيا للوتر $[(a,f(a)),(b,f(b))]$.

تطبيق كلاسيكي: متراجحة التزايدات المنتهية

إذا كان $|f^{\prime }(x)|\le M$ لكل $x\in ]a,b[$، فإن:

$|f(b)-f(a)|\le M\cdot |b-a|$

هذه هي متراجحة التزايدات المنتهية، مفيدة جدا لتحديد حد أعلى للأخطاء.

مثال — تطبيق مبرهنة التزايدات المنتهية

بين أن $|\sin x-\sin y|\le |x-y|$ لكل $x,y\in \mathbb{R}$.

برهان: $f(t)=\sin t$ قابلة للاشتقاق، $f^{\prime }(t)=\cos t$ مع $|\cos t|\le 1$.

بواسطة متراجحة التزايدات المنتهية: $|\sin x-\sin y|\le 1\cdot |x-y|=|x-y|$. $■$

العلاقة بين رول ومبرهنة التزايدات المنتهية

مبرهنة التزايدات المنتهية هي تعميم لمبرهنة رول: إذا كان $f(a)=f(b)$، فإن مبرهنة التزايدات المنتهية تعطي $f^{\prime }(c)=0$، وهو نص مبرهنة رول.

الفرضيات الأساسية

لا تنس أبدا:

• الاتصال على $[a,b]$ (مجال مغلق).
• القابلية للاشتقاق على $]a,b[$ (مجال مفتوح).

إذا غابت إحداهما، فإن المبرهنة لا تنطبق، ويمكنك إيجاد أمثلة مضادة (مثلا: دالة غير متصلة لا تنعدم أبدا).

استراتيجية الاستعمال

عندما ترى سؤالا من نوع "بين أنه يوجد $c$ بحيث..."، فكر فورا في مبرهنة رول أو مبرهنة التزايدات المنتهية.

الأخطاء الشائعة

• نسيان التحقق من الاتصال.
• كتابة مساواة مبرهنة التزايدات المنتهية بشكل خاطئ: إنها $(b-a)\cdot f^{\prime }(c)$، وليس $\frac{f^{\prime }(c)}{b-a}$.
• الخلط بين رول (تساوي عند الطرفين) ومبرهنة التزايدات المنتهية (عامة).

المزيد من التمارين: فصل القابلية للاشتقاق باكالوريا العلوم الرياضية.