Théorèmes de Rolle et des accroissements finis

Théorème de Rolle

Soit $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ telle que :

1. $f$ est continue sur $[a,b]$.
2. $f$ est dérivable sur $]a,b[$.
3. $f(a)=f(b)$.

Alors il existe $c\in ]a,b[$ tel que $f^{\prime }(c)=0$.

Interprétation géométrique

Si la fonction prend la même valeur en deux points, il y a au moins un point intermédiaire où la tangente est horizontale (pente nulle).

Exemple Rolle

Montre qu'il existe $c\in ]0,\pi [$ tel que ${\cos }^{\prime }(c)=0$.

$f(x)=\cos (x)$ est continue et dérivable sur $\mathbb{R}$.

$f(0)=1$ et $f(\pi )=-1$ : pas égaux ! Donc Rolle ne s'applique pas directement ici.

Reprenons avec $f(x)=\cos (x)-\cos (0)=\cos (x)-1$ sur $[0,2\pi ]$ : $f(0)=0$ et $f(2\pi )=0$. Rolle s'applique. Il existe $c\in ]0,2\pi [$ avec $f^{\prime }(c)=-\sin (c)=0$, donc $c=\pi$.

Théorème des accroissements finis (TAF)

Soit $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ continue sur $[a,b]$ et dérivable sur $]a,b[$.

Alors il existe $c\in ]a,b[$ tel que :

$f(b)-f(a)=(b-a)\cdot f^{\prime }(c)$

Interprétation géométrique

Il existe un point $c$ où la tangente est parallèle à la corde $[(a,f(a)),(b,f(b))]$.

Application classique : inégalité des accroissements finis

Si $|f^{\prime }(x)|\le M$ pour tout $x\in ]a,b[$, alors :

$|f(b)-f(a)|\le M\cdot |b-a|$

C'est l'inégalité des accroissements finis, hyper utile pour majorer des erreurs.

Exemple — Application TAF

Montre que $|\sin x-\sin y|\le |x-y|$ pour tout $x,y\in \mathbb{R}$.

Démonstration : $f(t)=\sin t$ est dérivable, $f^{\prime }(t)=\cos t$ avec $|\cos t|\le 1$.

Par l'inégalité des accroissements finis : $|\sin x-\sin y|\le 1\cdot |x-y|=|x-y|$. $■$

Lien Rolle ↔ TAF

Le TAF est une généralisation de Rolle : si $f(a)=f(b)$, le TAF donne $f^{\prime }(c)=0$, qui est l'énoncé de Rolle.

Hypothèses cruciales

Ne jamais oublier :

• Continuité sur $[a,b]$ (intervalle fermé).
• Dérivabilité sur $]a,b[$ (intervalle ouvert).

Si l'une manque, le théorème ne s'applique pas, et tu peux trouver des contre-exemples (ex : fonction discontinue qui ne s'annule jamais).

Méta-stratégie d'utilisation

Quand tu vois une question du type "Montrer qu'il existe $c$ tel que...", pense immédiatement à Rolle ou TAF.

Pièges

• Oublier de vérifier la continuité.
• Mal écrire l'égalité du TAF : c'est $(b-a)\cdot f^{\prime }(c)$, pas $\frac{f^{\prime }(c)}{b-a}$.
• Confondre Rolle (égalité aux bornes) et TAF (général).

Plus d'exercices : chapitre dérivabilité 2BAC SM.