📈 التحليل أولى باك ع.ر #15 / 30

«f تزايدية إذن f′ > 0» — الخلط بين القطعي والواسع

دالة تزايدية قطعاً يمكن أن تكون f′ = 0 موضعياً (مثال: x³ عند 0). خطأ متكرر في الباكالوريا.

🧠 الانحياز المعرفي المُحدَّد : الخلط بين القطعي والواسع

❌ الخطأ النموذجي

الخطأ هو الخلط المنهجي بين الخاصيات القطعية والواسعة للدوال ومشتقاتها. كثيراً ما يستنتج التلميذ أنه إذا كانت دالة $f$ تزايدية قطعاً على مجال $I$ ، فإن مشتقتها $f^{'}$ موجبة قطعاً على $I$ . هذا خاطئ.

المثال النموذجي هو الدالة $f (x) = x^{3}$ . هي تزايدية قطعاً على $R$ . ومشتقتها هي $f^{'} (x) = 3 x^{2}$ . لكن $f^{'} (0) = 0$ . المشتقة ليست موجبة قطعاً في كل نقطة. مثال آخر هو $f (x) = x - cos (x)$ . مشتقتها هي $f^{'} (x) = 1 + sin (x)$ . هذه الدالة تزايدية قطعاً على $R$ لأن $f^{'} (x) \geq 0$ و $f^{'} (x) = 0$ فقط عند نقط معزولة ( $x = - \frac{π}{2} + 2 k π$ ). ومع ذلك، فإن $f^{'} (x)$ ليست موجبة قطعاً في كل مكان.

✅ المنعكس لتجنّبه نهائياً

تمر الوقاية عبر فصل منهجي بين الاستلزامات:

إذا كانت $f^{'} (x) > 0$ على $I$ ، فإن $f$ تزايدية قطعاً على $I$ . (صحيح)
إذا كانت $f'(x) < 0$ على $I$، فإن $f$ تناقصية قطعاً على $I$. (صحيح)
إذا كانت $f^{'} (x) \geq 0$ على $I$ ، فإن $f$ تزايدية على $I$ . (صحيح)
إذا كانت $f$ تزايدية قطعاً على $I$ ، فإن $f^{'} (x) \geq 0$ على $I$ . (صحيح)

القاعدة الواجب اعتمادها هي التالية: «التزايد القطعي لا يستلزم أن تكون المشتقة موجبة قطعاً. فكّر دائماً في $x^{3}$ عند الأصل.» قبل الاستنتاج بأن $f^{'} (x) > 0$ ، تحقق إن كانت الدالة تزايدية فقط أو إن كان انعدام المشتقة لا يحدث إلا عند نقط معزولة. مبرهنة التزايدات المنتهية ونتائجها دقيقة: تكون $f$ رتيبة قطعاً إذا حافظت $f^{'}$ على إشارة ثابتة ولم تنعدم إلا عند نقط معزولة.

🎯 أين يُكلّفك نقطاً في باكالوريا العلوم الرياضية

هذا الخطأ متكرر في تمارين دراسة الدوال في باكالوريا العلوم الرياضية، خاصة لتحديد مجالات الرتابة القطعية. قد تُصاغ الأسئلة هكذا: «ادرس تغيرات $f$ .» أو «بيّن أن $f$ تزايدية قطعاً على $R$ .» يحسب التلميذ $f^{'} (x)$ ، فيجد مثلاً $f^{'} (x) = (x - 1)^{2}$ ، ويستنتج خطأً أن $f$ تزايدية على $R$ وتزايدية قطعاً على $R ∖ {1}$ . الاستنتاج الصحيح هو أن $f$ تزايدية قطعاً على $R$ لأن $f^{'} (x) \geq 0$ ولا تنعدم إلا عند $x = 1$ ، وهي نقطة معزولة.

مثال نمطي هو دالة مشتقتها $f^{'} (x) = \frac{x ^{2}}{x ^{2} + 1}$ . في هذه الحالة، $f^{'} (x) \geq 0$ و $f^{'} (x) = 0$ فقط عند $x = 0$ . الاستنتاج الصحيح هو أن $f$ تزايدية قطعاً على $R$ . هذا التمييز جوهري لتطبيق مبرهنة القيم الوسيطية لإثبات وجود ووحدانية حل للمعادلة $f (x) = k$ . الرتابة القطعية مطلوبة للوحدانية، وليس مجرد رتابة واسعة.

💡 للفضوليين : لماذا يفعل دماغك هذا عرض ▾إخفاء ▴

إنه استدلال مبني على الصورة الذهنية بدل التعريف: «تزايدية = ترتفع»، فنتخيل معاملاً موجهاً موجباً قطعاً في كل مكان ونكتب $f^{'} > 0$ . لكن التعريف الحقيقي لا يتطلب سوى $f^{'} \geq 0$ ، مع مشتقة قد تنعدم عند نقط معزولة دون أن تكسر الارتفاع. المثال المضاد الذي يجب استحضاره هو $f (x) = x^{3}$ : تزايدية قطعاً على $R$ ، ومع ذلك $f^{'} (0) = 0$ . للمنحنى مماس أفقي عند $0$ وهو يواصل الارتفاع. الحدس البصري أخشن من أن يلتقط لحظة التوقف هذه.