🎰 ثلاثة أسئلة من الحياة الواقعية
- كم عدد الرموز السرية المكونة من 4 أرقام؟ (البطاقات البنكية)
- كم عدد منصات التتويج الممكنة في سباق فيه 10 عدّائين؟ (الأول، الثاني، الثالث)
- كم عدد الأيدي المكونة من 5 أوراق في لعبة البوكر (52 ورقة)؟
هذه الأسئلة الثلاثة تبدو متشابهة: « كم عدد الطرق التي يمكن بها… ». لكنها تستدعي ثلاث تقنيات عدّ مختلفة. إتقان العدّ يعني معرفة تمييز أي من التقنيات الثلاث ينطبق.
📊 أدوات العدّ الثلاث
- اللوائح من الطول p (المبدأ الجدائي): np — عندما نختار p عنصرًا مع التكرار (الرمز السري)
- الترتيبات Apn: n(n−1)…(n−p+1) — p عنصرًا من بين n، دون تكرار، الترتيب مهم (منصة التتويج)
- التوليفات Cpn: Apn / p! — p عنصرًا من بين n، دون تكرار، الترتيب غير مهم (يد البوكر)
ثلاثة أسئلة، ثلاث صيغ. لنرها قيد التطبيق.
🎛️ عُدّ مباشرة
اختر n و p، حدّد نوع العدّ، وشاهد ظهور الأمثلة الأولى مسرودة، مع المجموع.
🎛️ مولّد P / A / C
نأخذ p عنصرًا من بين {A, B, C, D, E, F}. قارن بين الطرق الثلاث.
25
🧮 الصيغ التي يجب حفظها عن ظهر قلب
(اللوائح من الطول p)
(الترتيبات)
(التوليفات)
نصيحة: للتمييز بين الترتيب والتوليفة، اسأل نفسك « هل ABC و CBA مختلفان؟ ». إذا كان الجواب نعم، فهو ترتيب. وإلا، فهو توليفة.
🎯 تطبيق على الأسئلة الثلاثة
- الرموز السرية: 10 أرقام ممكنة، 4 مواضع، التكرار مسموح به.
→ = 10 000 رمز ممكن. - منصة التتويج (الأول، الثاني، الثالث) من بين 10 عدّائين: 3 مراكز من بين 10، دون تكرار، الترتيب مهم.
→ = 10 × 9 × 8 = 720 منصة تتويج. - يد من 5 أوراق من بين 52: 5 أوراق من بين 52، دون تكرار، الترتيب غير مهم (ترتيب الأوراق في اليد لا يغير شيئًا).
→ = 2 598 960 يد ممكنة.
🎓 العدّ في البكالوريا علوم رياضية
العدّ فصل ضخم في الثانية بكالوريا علوم رياضية. ستدرس فيه:
- المبدأ الجدائي (« قاعدة الواو/و »)
- المبدأ الجمعي (« قاعدة أو » على مجموعات منفصلة)
- التبديلات: ترتيب n عنصرًا من بين n (= n!)
- الترتيبات Apn
- التوليفات Cpn وخصائصها (التماثل، صيغة باسكال)
- صيغة حدّانية نيوتن (ثنائي الحدّ) (مرتبطة بمفهوم مثلث باسكال)
- التطبيق على الاحتمالات: السحب بإحلال أو بدون إحلال، القانون الحدّاني
🌍 العدّ في العالم الحقيقي
- اليانصيب (اللوطو): 6 أرقام من بين 49. C649 = 13 983 816 توليفة. لهذا السبب لا تربح أبدًا.
- التشفير: تقدير عدد المفاتيح الممكنة لخوارزمية ما
- علم الوراثة: كم عدد توليفات الحمض النووي الممكنة؟
- الخوارزميات: تعقيد المسائل التأليفية (حقيبة الظهر، مشكل الممثل التجاري الجوّال)
- الإحصاء الاستدلالي: اختيار عينة من n شخصًا من بين N
🧠 تأمل أخير
العدّ هو الأداة الأولى تاريخيًا للاحتمالات. باسكال وفيرما أسّسا نظرية الاحتمالات سنة 1654 من خلال مراسلات بينهما، حول مسائل ألعاب الحظ: كم عدد الطرق للحصول على هذه النتيجة أو تلك؟
واليوم، هو أيضًا الأداة الأولى للخوارزميات النظرية. عندما يقدّر مطوّر « هذه الخوارزمية ستستغرق 2n عملية »، فهو يقوم بـ العدّ.
أتقن الصيغ الثلاث (اللوائح من الطول p، A، C) واعرف متى تستعمل كل واحدة منها. عندها يكون نصف فصل الاحتمالات في جيبك.
Vérifie ta compréhension
3 questions courtes pour valider tes acquis. Tu peux réessayer.