🎛️ شاهد المماسات تتقارب نحو الجذر
اختر نقطة انطلاق x₀ وانقر على «كرّر» لرؤية الخوارزمية تتقدم خطوة بخطوة.
التكرار n
0
xn (الحالي)
2.000000
الهدف : √2
1.41421356…
الانطلاق : x₀ = 2. نبحث عن جذر الدالة f(x) = x² − 2 (أي √2). انقر على «كرّر» لرؤية نيوتن يتقارب.
🧮 حساب √2 بدون آلة حاسبة — السؤال الألفي
تريد حساب √2 يدويًا. تعلم أنه بين 1 و 2 (لأن 1² = 1 و 2² = 4). في الواقع، هو بين 1.4 و 1.5 (لأن 1.4² = 1.96 و 1.5² = 2.25). بالصبر، يمكنك التدقيق أكثر : 1.41، 1.414، 1.4142… لكن هذا يستغرق ساعات لكسب بضعة أرقام عشرية.
في عام 1669، نشر إسحاق نيوتن فكرة عبقرية. فبدلاً من حصر الجذر عبر تضييق مجال، سننزلق على مماسات المنحنى. وتصبح سرعة التقارب مذهلة : في كل تكرار، عدد الأرقام العشرية الصحيحة يتضاعف.
أداء نيوتن على √2 (5 أرقام عشرية تكفي ← سنحصل على 16) :
- x₀ = 2.000000000000000
- x₁ = 1.500000000000000
- x₂ = 1.416666666666667
- x₃ = 1.414215686274510
- x₄ = 1.414213562374690 ← 12 رقمًا عشريًا صحيحًا
- x₅ = 1.414213562373095 ← مضبوط إلى دقة الآلة !
💡 الفكرة العبقرية : تعويض المنحنى بمماسه
نريد حل f(x) = 0. المنحنى معقد. لكن حول نقطة xn، يمكننا تقريبه بمماسه. والمماس مستقيم — ونعرف كيف نحل أي معادلة خطية في 5 ثوانٍ.
في المرحلة n، تعرف xn. تحسب f(xn) (ليست صفرًا، للأسف) و المعامل الموجّه f'(xn) عند هذه النقطة. معادلة المماس هي :
y = f(xn) + f'(xn) · (x − xn)
أين يقطع هذا المماس محور الأفاصيل ؟ ضع y = 0 وحُل :
xn+1 = xn − f(xn)f'(xn)
هذه هي صيغة نيوتن. في كل تكرار، تعوّض xn بالنقطة التي يقطع فيها المماس المحور. ثم تعيد الكرّة. المتتالية تتقارب (بسرعة كبيرة) نحو الجذر.
⚡ التقارب التربيعي : لماذا هو بهذه السرعة
لتكن εn = |xn − ℓ| الخطأ في المرحلة n (حيث ℓ هو الجذر الحقيقي). لنيوتن خاصية سحرية : إذا كان f''(ℓ) ≠ 0، فإن :
εn+1 ≈ K · εn²
الترجمة : إذا كان لديك في المرحلة n ثلاثة أرقام عشرية صحيحة (εn ≈ 10⁻³)، فستحصل في المرحلة n+1 على 6 (εn+1 ≈ 10⁻⁶). في المرحلة n+2، 12. في المرحلة n+3، 24. هذا هو التقارب التربيعي.
📐 في البكالوريا علوم رياضية : أين يظهر نيوتن ؟
طريقة نيوتن ليست في البرنامج الرسمي بهذا الشكل، لكنها مرتبطة بقوة بعدة مفاهيم من باب المتتاليات التراجعية :
- المتتاليات التراجعية un+1 = g(un) مع g(x) = x − f(x)/f'(x). إذا رأيت هذا التعريف، فهو نيوتن مطبق على f.
- النقطة الثابتة : الجذر ℓ يحقق g(ℓ) = ℓ. نيوتن يتقارب إذا وفقط إذا كان |g'(ℓ)| < 1. وبالضبط، g'(ℓ) = 0، ومن هنا التقارب التربيعي.
- الحصر بالتنصيف (الديكوتومي) (غالبًا في تمرين). نيوتن هو التحسين الأكبر للتنصيف : بدل القسمة على 2 في كل مرحلة، نقسم على أكثر من ذلك بكثير.
⚠️ متى يفشل نيوتن (وكيف نكتشف ذلك)
نيوتن ليس سحريًا. يمكن أن يتباعد أو يقع في حلقة إذا :
- f'(xn) = 0 في لحظة ما : المماس أفقي، لم يعد يقطع المحور. القسمة على 0 ← الخوارزمية تتعطل.
- نقطة انطلاق سيئة : إذا كان x₀ بعيدًا جدًا عن الجذر، يمكن أن ينطلق نيوتن نحو اللانهاية أو يتقارب نحو جذر آخر.
- الدوال المتذبذبة (مثل : sin(x)، tan(x)) : يمكن أن ينقلب نيوتن إلى دورة.
- الجذور المتعددة (f'(ℓ) = 0) : يتدهور التقارب التربيعي إلى تقارب خطي (لا يزال جيدًا، لكنه يفقد ميزته).
🎯 حيلة المحترفين لحساب √a بدون آلة حاسبة
لحساب √a، طبّق نيوتن على f(x) = x² − a. تصبح الصيغة :
xn+1 = 12 · (xn + axn )
هذه هي طريقة هيرون الإسكندري (حوالي 100 بعد الميلاد)، أعاد اكتشافها نيوتن بعد 1500 سنة. لحساب √2 : انطلق من x₀ = 1، أنجز 4 تكرارات، تحصل على 8 أرقام عشرية. لحساب √10 : انطلق من x₀ = 3، أنجز 4 تكرارات، تحصل على 7 أرقام عشرية.
Vérifie ta compréhension
3 questions courtes pour valider tes acquis. Tu peux réessayer.