صيغة موافر والجذور النونية

⏳

Disponible dans 372 jours

Ce concept sera publié le 25 juin 2027. L'Atlas des concepts s'enrichit d'un nouveau concept chaque semaine.

📩 Reçois la notification dès la publication

Gratuit · Pas de spam · Désinscription en 1 clic

← Voir les concepts déjà publiés

🎛️ الجذور النونية للوحدة تشكّل مضلعا منتظما

غيّر n لترى كيف تتوزّع حلول $z^{n}$ = 1 بانتظام على دائرة الوحدة.

عدد الجذور n = 5

n = 2 (قطعة)، n = 3 (مثلث)، n = 4 (مربع)، n = 6 (سداسي)…

الزاوية بين الجذور

2 $π$ /5 = 72°

معيار كل جذر

مجموع الجذور

مع n = 5، تشكّل حلول $z^{5}$ = 1 مخمّسا منتظما محاطا بدائرة الوحدة.

🎯 المسألة: كيف نحل $z^{3}$ = 1 ؟

في $R$ ، المعادلة $x^{3}$ = 1 لها حل واحد فقط: x = 1. في $C$ ، الأمر مختلف. المبرهنة الأساسية للجبر تنص على أن حدودية من الدرجة n لها بالضبط n جذرا عقديا. إذن $z^{3}$ = 1 يجب أن يكون لها ثلاثة حلول. فما هي ؟

إذا كتبت z = a + ib ونشرت (a + ib)³ = 1، فستغرق في الحساب الجبري. نحتاج إلى مقاربة أخرى. الشكل المثلثي للأعداد العقدية يجعل ذلك بديهيا.

🔄 الفكرة: كل عدد عقدي هو دوران

كل عدد عقدي z يُكتب على الشكل المثلثي:

z = r $\cdot$ (cos $θ$ + i sin $θ$ )

حيث r = |z| هو المعيار (المسافة إلى المبدأ) و $θ$ = arg(z) هو العمدة (الزاوية مع محور الأعداد الحقيقية الموجبة). هندسيا، z هي النقطة التي نحصل عليها انطلاقا من (1, 0)، بضربها في r (تكبير)، ثم بتدويرها بزاوية $θ$ .

ضرب عددين عقديين بالشكل المثلثي:
نضرب المعيارين ونجمع العمدتين.

$z_{1}$ $\cdot$ $z_{2}$ = ( $r_{1}$ $\cdot$ $r_{2}$ ) $\cdot$ (cos( $θ$ ₁ + $θ$ ₂) + i sin( $θ$ ₁ + $θ$ ₂))

⚡ صيغة موافر (1722)

إذا كان z = cos $θ$ + i sin $θ$ (أي بمعيار 1)، فإنه بالترجع على المتطابقة السابقة:

(cos $θ$ + i sin $θ$ )ⁿ = cos(n $θ$ ) + i sin(n $θ$ )

أبراهام دو موافر، 1722

الرفع إلى الأس n يعني ضرب الزاوية في n. النقطة تدور n دورة حول الدائرة. هذه الصيغة من أكثر الصيغ استعمالا في البكالوريا علوم رياضية الثانية، وهي الأداة الأساسية لكل الأسئلة المتعلقة بالجذور النونية.

🌟 الجذور النونية للوحدة

لنبحث عن حلول zⁿ = 1. اكتب z = r(cos $θ$ + i sin $θ$ ). حسب موافر:

zⁿ = rⁿ(cos(n $θ$ ) + i sin(n $θ$ )) = 1

العدد العقدي 1 معياره 1 وعمدته 0 (بترديد 2 $π$ ). إذن:

المعيار: rⁿ = 1، إذن r = 1 (بما أن r $\geq$ 0).
العمدة: n $θ$ ≡ 0 (بترديد 2 $π$ )، إذن $θ$ = 2k $π$ /n من أجل k = 0, 1, 2, …, n−1.

نحصل إذن بالضبط على n حلا:

z_k = cos(2k $π$ /n) + i sin(2k $π$ /n) من أجل k = 0, 1, …, n−1

هذه النقاط الـ n متساوية البعد على دائرة الوحدة، يفصل بينها زاوية مقدارها 2 $π$ /n. إنها تشكّل مضلعا منتظما ذا n رأس محاطا بدائرة الوحدة. وهي من أكثر النتائج أناقة في الرياضيات.

📐 الحالات الخاصة التي يجب حفظها عن ظهر قلب

n = 2: $z^{2}$ = 1 $\to$ z $\in$ {1, −1} (قطعة أفقية).
n = 3: $z^{3}$ = 1 $\to$ z $\in$ {1, j, $j^{2}$ } حيث j = e^{i2 $π$ /3} = −1/2 + i $3$ /2 (مثلث متساوي الأضلاع). خاصية شهيرة: 1 + j + $j^{2}$ = 0.
n = 4: $z^{4}$ = 1 $\to$ z $\in$ {1, i, −1, −i} (مربع).
n = 6: $z^{6}$ = 1 $\to$ 6 جذور، من بينها الجذور التكعيبية الثلاثة ومقابلاتها (سداسي منتظم).

🎓 كيف تظهر صيغة موافر في البكالوريا علوم رياضية

1. حل $z^{n}$ = a (مع a عدد عقدي كيفما كان)

الطريقة الشاملة: اكتب a على الشكل الأسي a = $ρ$ $\cdot$ e^{i $α$}. الحلول الـ n هي:

z_k = $ρ$ ^1/n $\cdot$ e^{i( $α$ + 2k $π$ )/n} من أجل k = 0, …, n−1

2. تخطيط cos(n $θ$ ) و sin(n $θ$ )

مثلا، التعبير عن cos(3 $θ$ ) بدلالة cos $θ$ . تنشر (cos $θ$ + i sin $θ$ )³ بدستور ذي الحدين، تأخذ الجزء الحقيقي، فتحصل على cos(3 $θ$ ) = 4co $s^{3}$ $θ$ − 3cos $θ$ . كلاسيكي في البكالوريا.

3. حساب (1 + i)ⁿ أو أسس مماثلة

نمرّ عبر الشكل الأسي: 1 + i = $2$ $\cdot$ e^{i $π$ /4}. إذن (1 + i)¹⁰⁰ = $2^{50}$ $\cdot$ e^{i25 $π$}. وبما أن 25 $π$ ≡ $π$ (بترديد 2 $π$ )، فإن (1 + i)¹⁰⁰ = − $2^{50}$ . بدون آلة حاسبة. وبدون حساب جبري مرهق.

⚠️ الأخطاء الكلاسيكية الشائعة

الخلط بين cos(n $θ$ ) و (cos $θ$ )ⁿ. صيغة موافر تقول إن (cos $θ$ + i sin $θ$ )ⁿ = cos(n $θ$ ) + i sin(n $θ$ ). لكن (cos $θ$ )ⁿ $\neq =$ cos(n $θ$ ) بشكل عام.
نسيان الترديد بـ 2 $π$ . إذا وجدت عمدة قدرها 47 $π$ /12، بسّط إلى 47 $π$ /12 − 2 $π$ = 23 $π$ /12 للبقاء داخل (− $π$ , $π$ ].
المعيار السالب مستحيل. r دائما $\geq$ 0. إذا وجدت r = −2، فذلك يعني أن لديك خطأ في الإشارة — استعمل بدل ذلك arg + $π$ لتغيير الإشارة.

صيغة موافر تحوّل جبر الأعداد العقدية إلى هندسة خالصة. الضرب يصبح تدويرا. الرفع إلى أس يصبح تكرار دوران. حل معادلة يصبح وضع نقاط على دائرة. هذه الترجمة من الجبر $⟺$ الهندسة هي التي تجعل الأعداد العقدية أنيقة حقا — وفي المتناول. بدون موافر، فإن فصل الأعداد العقدية في البكالوريا علوم رياضية سيكون حسابيا بشكل لا يُطاق.

🎯

Vérifie ta compréhension

3 questions courtes pour valider tes acquis. Tu peux réessayer.

← أطلس المفاهيم يُثرى الأطلس كل أسبوع

Disponible dans 372 jours

صيغة موافر والجذور النونية

🎛️ الجذور النونية للوحدة تشكّل مضلعا منتظما

🎯 المسألة: كيف نحل z3 = 1 ؟

🔄 الفكرة: كل عدد عقدي هو دوران

⚡ صيغة موافر (1722)

🌟 الجذور النونية للوحدة

📐 الحالات الخاصة التي يجب حفظها عن ظهر قلب

🎓 كيف تظهر صيغة موافر في البكالوريا علوم رياضية

1. حل zn = a (مع a عدد عقدي كيفما كان)

2. تخطيط cos(nθ) و sin(nθ)

3. حساب (1 + i)ⁿ أو أسس مماثلة

⚠️ الأخطاء الكلاسيكية الشائعة

Vérifie ta compréhension

Installe Atlasmaths sur ton téléphone

🎯 المسألة: كيف نحل $z^{3}$ = 1 ؟

1. حل $z^{n}$ = a (مع a عدد عقدي كيفما كان)

2. تخطيط cos(n $θ$ ) و sin(n $θ$ )