🟥 سؤال طفل
لديك مربع طول ضلعه يساوي 1. ما هو طول قطره؟ حسب فيتاغورس، إنه . لا مشكلة في ذلك.
الآن السؤال الحقيقي: اكتب على شكل كسر p/q، حيث p و q عددان صحيحان. ستحاول: 1,4 = 14/10. لا، إنه صغير جدًا (1,4² = 1,96). جرّب 1,41 = 141/100… 1,4142… 1,41421356… مهما حاولت، لن تنجح أبدًا. وهناك سبب رياضي دقيق لذلك.
🎛️ تصوّر √2 كقطر
إليك المربع الوحدة وقطره. قِس القطر بتكبير الصورة: مهما بلغت الدقة، لن تحصل أبدًا على عدد عشري منتهٍ تام.
🎛️ برهان هندسي
الضلع هو الوحدة. القطر يساوي √2 ≈ 1,414213562… (ليس كسرًا تامًا أبدًا)
تقريب عشري
√2 ≈ 1.4142135624
📜 برهان أن √2 عدد غير جذري
البرهان الأكثر شهرة في رياضيات العصور القديمة. بالخُلف:
- لنفترض أن = ، مع p و q عددين صحيحين أوّليين فيما بينهما (كسر غير قابل للاختزال).
- إذن 2 = ، إذن p² = 2q².
- p² زوجي (يساوي 2q²)، إذن p زوجي (لأن مربع العدد الفردي فردي).
- لنكتب p = 2k. إذن p² = 4k²، إذن 4k² = 2q²، إذن q² = 2k².
- q² زوجي، إذن q زوجي.
- لكن عندئذٍ يكون p و q كلاهما زوجيين، إذن قابلين للقسمة على 2 — وهذا تناقض مع كونهما «أوّليين فيما بينهما». ∎
يعود هذا البرهان إلى القرن الخامس قبل الميلاد ويُنسب إلى هيباسوس الميتابونتي، عضو الأخوية الفيتاغورية.
⚰️ مأساة هيباسوس
كان الفيتاغوريون طائفة فلسفية رياضية ترى في الأعداد الصحيحة ونسبها (الأعداد الجذرية) البنية ذاتها للكون. «كل شيء عدد» كان شعارهم. وكانوا يقصدون بـ«العدد» حصرًا العدد الصحيح أو الجذري.
🧮 الأعداد غير الجذرية بعد هيباسوس
بمجرد فتح الشقّ الأول، تتبعه الأعداد غير الجذرية الأخرى:
- ، ، ، … (كل جذر لعدد صحيح ليس مربعًا تامًا)
- π (نسبة المحيط إلى القطر — انظر مفهوم أطلس π)
- e (أساس اللوغاريتمات — انظر مفهوم أطلس العدد e)
- φ (النسبة الذهبية — انظر مفهوم أطلس النسبة الذهبية)
- + ، وعدد لا نهائي من غيرها
سيبرهن كانتور لاحقًا أن معظم الأعداد الحقيقية غير جذرية. فالأعداد الجذرية، في النهاية، هي الاستثناء.
📐 خصائص أساسية يجب معرفتها (بكالوريا علوم رياضية)
(من أجل a، b ≥ 0)
(من أجل a ≥ 0، b > 0)
(من أجل a ≥ 0)
(من أجل كل a)
خطأ شائع: ≠ . اختبر بـ a = 9، b = 16: = 5، لكن + = 3 + 4 = 7. غير متساويين.
🎯 متطابقة المربع (يجب معرفتها قطعًا)
المتطابقات الهامة نتيجة مباشرة لتعريف المربع:
ستصادف هذه المتطابقات كل يوم في البكالوريا علوم رياضية. تعلّمها كأنها رد فعل تلقائي — تراها وتستعملها دون تفكير.
🎓 المربعات والجذور في برنامج البكالوريا علوم رياضية
- تعريف: من أجل a ≥ 0، هو العدد الحقيقي الموجب الوحيد الذي مربعه يساوي a
- خصائص جبرية: الجداء، خارج القسمة، القوة
- معادلات من الدرجة الثانية: المميز Δ = b² − 4ac، الحلول
- متراجحات: دراسة إشارة دوال الدرجة الثانية
- معيار متجهة:
- معيار عدد عقدي: |z| =
🧠 تأمل أخير
يجسّد تاريخ √2 حقيقة عميقة: الرياضيات تكتشف بقدر ما تخترع. لم يخترع هيباسوس الأعداد غير الجذرية. بل اكتشفها، كما يُكتشف كوكب، وفعل ذلك ببساطة باتّباع النتائج المنطقية لمبرهنة معروفة سلفًا.
وأحيانًا، يدمّر ما نكتشفه رؤية العالم التي كانت لدينا حتى ذلك الحين. هذا ما يجعل هذه المهنة شيّقة إلى هذا الحد — وخطيرة إلى هذا الحد على اليقينيات.
Vérifie ta compréhension
3 questions courtes pour valider tes acquis. Tu peux réessayer.