🎛️ أوجد النقطة c حيث يكون المماس موازيًا للوتر
حرّك الطرفين a و b. انتقل بين رول (f(a)=f(b)) والتزايدات المنتهية (وتر اعتباطي).
f(a), f(b)
f(−2)=0
f(2)=0
معامل توجيه الوتر
0.000
النقطة c الموجودة
c = 0.00
f(a) = f(b) = 0 : الوتر أفقي. المماس عند النقطة c = 0 أفقي أيضًا — هذه هي مبرهنة رول.
🚗 الوضعية التي عاشها الجميع
تنطلق من الدار البيضاء على الساعة 14:00، وتصل إلى الرباط (90 كلم) على الساعة 15:00. إذن سرعتك المتوسطة على المسار هي 90 كلم/س.
السؤال: في لحظة محددة من المسار، هل كان عداد سرعتك يُظهر بالضرورة 90 كلم/س ؟
الحدس يقول نعم. لو أنك لم تبلغ أبدًا 90 كلم/س، لكان متوسطك إما أقل (لم تبلغها قط)، أو أكبر (لم تنخفض أبدًا) — إذن متوسط خاطئ. هذه البداهة الحدسية لها اسم: مبرهنة التزايدات المنتهية.
مبرهنة التزايدات المنتهية (لاغرانج، 1797)
إذا كانت f متصلة على [a, b] وقابلة للاشتقاق على ]a, b[، فإنه توجد على الأقل نقطة واحدة
c ∈ ]a, b[ بحيث:
f'(c) = f(b) − f(a)b − a
🎯 مبرهنة رول: الحالة الخاصة الأكثر نقاءً
قبل لاغرانج، هناك ميشيل رول (1652-1719)، عالم رياضيات فرنسي. تعالج مبرهنته الحالة التي تكون فيها السرعة المتوسطة منعدمة:
مبرهنة رول
إذا كانت f متصلة على [a, b]، قابلة للاشتقاق على ]a, b[، و f(a) = f(b)،
فإنه توجد c ∈ ]a, b[ بحيث f'(c) = 0.
الترجمة المبيانية: إذا انطلقت من ارتفاع معين وعدت إلى نفس الارتفاع، فإنه في مكان ما بين النقطتين، يكون لمنحناك مماس أفقي. لماذا ؟ لأنك بالضرورة صعدت ثم نزلت (أو نزلت ثم صعدت). عند النقطة العليا (أو السفلى)، يتغير معامل التوجيه إشارته — إذن ينعدم في لحظة ما.
🔗 رول ⇒ التزايدات المنتهية: نفس الفكرة في حُلّة مختلفة
مبرهنة التزايدات المنتهية ليست سوى مبرهنة رول مطبقة على دالة ذكية. لنضع:
g(x) = f(x) − f(b) − f(a)b − a ·(x − a) − f(a)
هذه الدالة g «تُقوّم» الوتر ليصبح أفقيًا. تحقق: g(a) = 0 و g(b) = 0. إذن تنطبق مبرهنة رول: توجد c بحيث g'(c) = 0.
ولدينا g'(x) = f'(x) − [f(b) − f(a)] / (b − a). المعادلة g'(c) = 0 تعطي بالضبط: f'(c) = [f(b) − f(a)] / (b − a). هذا كل شيء. مبرهنة التزايدات المنتهية هي مبرهنة رول إضافةً إلى تغيير المعلم.
📐 كيف تظهر في البكالوريا علوم رياضية ؟
هاتان المبرهنتان أداتان للبرهان، نادرًا ما تكونان سؤالًا مباشرًا. إليك الاستعمالات الكلاسيكية الثلاثة التي يجب حفظها عن ظهر قلب:
1. حصر تغير
إذا كان لكل x ∈ [a, b]، m ≤ f'(x) ≤ M، فإنه حسب التزايدات المنتهية:
m(b − a) ≤ f(b) − f(a) ≤ M(b − a)
إنها متفاوتة التزايدات المنتهية، النسخة الأكثر استعمالًا في البكالوريا. تظهر في المتتاليات التراجعية (un+1 = f(un)) لحصر |un+1 − ℓ| بدلالة |un − ℓ|.
2. إثبات أن لمعادلة حلًا
لإثبات أن f تنعدم على ]a, b[، أداتان متكاملتان:
- مبرهنة القيم الوسطية (TVI): إذا كانت f(a) و f(b) من إشارتين متعاكستين، فإن f تنعدم (الوجود).
- رول: إذا انعدمت f في نقطتين a و b مع f(a) = f(b)، فإن f' تنعدم بين النقطتين (الوجود بالنسبة للمشتقة).
3. إثبات متفاوتة غير بديهية
مثال كلاسيكي: إثبات أنه لكل x > 0، ln(1 + x) < x.
- لنضع f(t) = ln(1 + t) على [0, x].
- حسب التزايدات المنتهية، توجد c ∈ ]0, x[ بحيث [ln(1+x) − 0] / (x − 0) = f'(c) = 1 / (1+c).
- ولدينا c > 0، إذن 1/(1+c) < 1، إذن ln(1+x) < x. ✓
⚠️ المزالق التي يجب تجنبها
- التحقق من فرضية القابلية للاشتقاق. على ]a, b[ المفتوح، لكن الاتصال مطلوب على [a, b] المغلق. دالة القيمة المطلقة |x| على [−1, 1] تحقق f(−1) = f(1) = 1 وهي متصلة، لكن مبرهنة رول لا تنطبق لأنها غير قابلة للاشتقاق في 0.
- المبرهنة تقول «توجد» — وليس «توجد وحيدة». يمكن أن تكون لديك عدة نقط c تحقق الشرط. في البكالوريا علوم رياضية، نبحث عن الوجود، وليس الوحدانية.
- مبرهنة رول لا تقول كيف نجد c. إنها مبرهنة وجود محض. إذا طُلب منك حساب c، يجب حل f'(x) = (معامل التوجيه المتوسط) يدويًا.
🎓 العلاقة مع مبرهنات أخرى
رول والتزايدات المنتهية جزء من عائلة من مبرهنات الوجود في التحليل، تستند كلها إلى الاتصال و/أو القابلية للاشتقاق:
- بولزانو-فايرشتراس: كل متتالية مكبورة تقبل متتالية جزئية متقاربة.
- مبرهنة القيم الوسطية (TVI): الاتصال ⇒ صورة مجال هي مجال.
- مبرهنة الحدين: الاتصال على مجال مغلق ومحدود ⇒ وجود قيمة قصوى وقيمة دنيا.
- رول / التزايدات المنتهية: القابلية للاشتقاق ⇒ وجود نقطة بمعامل توجيه محدد.
- مبرهنة كوشي (تعميم للتزايدات المنتهية): لدالتين f و g، توجد c بحيث [f(b) − f(a)] · g'(c) = [g(b) − g(a)] · f'(c).
Vérifie ta compréhension
3 questions courtes pour valider tes acquis. Tu peux réessayer.