الحسابيات المتقدمة: PGCD وسيطي، غاوس وتطبيقات

التمرين 4 — القاسم المشترك الأكبر (PGCD) بدلالة بارامتر، مبرهنة غاوس والأعداد الأولية فيما بينها

ليكن n عددا صحيحا طبيعيا غير منعدم. نضع a = 2n + 3 و b = 3n + 4.

الجزء A — دراسة القاسم المشترك الأكبر (PGCD)

1. بين أن $\text{pgcd}(a,b)=\text{pgcd}(2n+3,1)$ بإجراء تأليفة خطية مناسبة. استنتج أن $\text{pgcd}(2n+3,3n+4)=1$ لكل $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.
2. باستخدام تأليفة أخرى، أعد إيجاد هذه النتيجة بحساب $\text{pgcd}(a,b)$ عن طريق $\text{pgcd}(b,2b-3a)$.

الجزء B — تطبيق على مبرهنة غاوس

3. ليكن p عددا صحيحا طبيعيا بحيث $(2n+3)\mid p$ و $(3n+4)\mid p$. بين أن $(2n+3)(3n+4)\mid p$. ما هي المبرهنة التي نستعملها؟
4. حدد أصغر عدد صحيح طبيعي غير منعدم p يقبل القسمة في آن واحد على $a=2n+3$ و $b=3n+4$، وعبر عن $\text{ppcm}(a,b)$ بدلالة n.

الجزء C — معادلة وتوافق

5. بين أنه يوجد عددان صحيحان u و v بحيث $(2n+3)u+(3n+4)v=1$. أوجد زوج حلول من أجل $n=3$.
6. من أجل $n=3$، حل في $\mathbb{Z}$ المعادلة (E) : $9x\equiv 5(\mathrm{mod}13)$ باستخدام النتائج السابقة.