Chute d'une bille dans l'huile : vitesse limite et méthode d'Euler

On laisse tomber, sans vitesse initiale, une bille d'acier de volume $V=1,0{\text{cm}}^3$ et de masse volumique $\rho =7800{\text{kg/m}}^3$ dans une éprouvette remplie d'huile de masse volumique ${\rho }_h=900{\text{kg/m}}^3$. La force de frottement fluide exercée par l'huile sur la bille est modélisée par $f=kv$, avec $k=0,10\text{kg/s}$ et $v$ la valeur de la vitesse du centre d'inertie. On prend $g=9,8{\text{m/s}}^2$ et on oriente l'axe vertical vers le bas.

1) Faire le bilan des forces exercées sur la bille et établir l'équation différentielle vérifiée par la vitesse $v$, sous la forme $\frac{dv}{dt}=A-Bv$ en explicitant $A$ et $B$. 2) Calculer la masse de la bille, puis la valeur de l'accélération initiale $a_0$. Comparer $a_0$ à $g$ et expliquer l'écart observé. 3) Établir l'expression littérale de la vitesse limite $v_{\ell }$ et calculer sa valeur. 4) Le temps caractéristique du mouvement est défini par $\tau =\frac{m}{k}$. Le calculer et en déduire une estimation de la durée du régime transitoire. 5) En utilisant la méthode d'Euler avec un pas $\Delta t=10\text{ms}$, calculer les valeurs de la vitesse aux instants $t_1=10\text{ms}$ et $t_2=20\text{ms}$, puis comparer $v(t_2)$ à la vitesse limite.