PARTIE 1 — Chute avec frottement. Un parachutiste de masse m=80 kg saute d'un avion et tombe verticalement. On modélise la force de frottement de l'air par f=−kv, avec k=20 SI (on prend g=10m/s2, et l'axe vertical est orienté vers le bas dans le sens de la chute). Deux situations sans rapport apparent, une seule loi : la deuxième loi de Newton, appliquée dans deux repères différents.1) En appliquant la deuxième loi de Newton, établir l'équation différentielle vérifiée par la vitesse v(t) du parachutiste. 2) Montrer que la vitesse limite atteinte par le parachutiste, lorsque son accélération s'annule, vaut vlim=kmg. Calculer sa valeur. 3) Le temps caractéristique de ce mouvement vaut τ′=km. Calculer sa valeur. PARTIE 2 — Satellite en orbite. On étudie à présent un satellite artificiel de masse msat=1000 kg, en orbite circulaire autour de la Terre à l'altitude h=700 km (rayon de la Terre RT=6371 km, G=6,67×10−11 SI, MT=5,97×1024 kg). 4) Donner l'expression littérale de la vitesse orbitale v du satellite en fonction de G, MT et du rayon de l'orbite r=RT+h, puis la calculer. 5) En déduire la période de révolution T du satellite (en secondes puis en heures). 6) La durée d'un jour sidéral (rotation propre de la Terre) vaut environ 23 h 56 min. Ce satellite est-il géostationnaire ? Justifier.
Indices
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1 Indice 1
Partie 1 : la deuxième loi donne $m\dfrac{dv}{dt} = m\,g - k\,v$. La vitesse limite s'obtient en annulant l'accélération.
2 Indice 2
Partie 2 : la force gravitationnelle joue le rôle de force centripète, d'où $\dfrac{GM_T}{r^{2}} = \dfrac{v^{2}}{r}$. Attention, $r$ est le rayon de l'orbite, non l'altitude.
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