Iode 131 en médecine nucléaire : activité et durée d'élimination

L'iode 131, de symbole ${}_{53}^{131}I$, est utilisé en médecine nucléaire pour le traitement de certaines affections de la thyroïde. C'est un émetteur ${\beta }^{-}$ de demi-vie $t_{1/2}=8,0\text{jours}$. On dispose à l'instant $t=0$ d'un échantillon contenant une masse $m_0=1,0\mu \text{g}$ d'iode 131 pur. Données : $M{(}^{131}I)=131\text{g}\cdot {\text{mol}}^{-1}$ ; $N_A=6,02\times 10^{23}{\text{mol}}^{-1}$ ; noyaux voisins : ${}_{52}^{131}Te$, ${}_{53}^{131}I$, ${}_{54}^{131}Xe$, ${}_{55}^{131}Cs$. 1) Écrire l'équation de désintégration de l'iode 131 et identifier le noyau fils, en justifiant par les lois de conservation. 2) Calculer le nombre $N_0$ de noyaux d'iode 131 présents dans l'échantillon à l'instant $t=0$. 3) Calculer la constante radioactive $\lambda$ en ${\text{s}}^{-1}$, puis l'activité initiale $a_0$ de l'échantillon, en becquerels puis en gigabecquerels. 4) Calculer l'activité de l'échantillon au bout de $24\text{jours}$, sans utiliser la fonction exponentielle. 5) Déterminer la durée nécessaire pour que l'activité tombe à $1\%$ de sa valeur initiale. Exprimer le résultat en jours. 6) Calculer le nombre de désintégrations qui se produisent dans l'échantillon pendant les $8$ premiers jours. En déduire l'activité moyenne sur cette période et expliquer pourquoi elle diffère de $a_0$.