Datation d'un fragment de bois par le carbone 14

Le carbone 14, de symbole ${}_6^{14}C$, est un noyau radioactif ${\beta }^{-}$ de demi-vie $t_{1/2}=5730\text{ans}$. Dans un organisme vivant, l'activité due au carbone 14 par gramme de carbone reste constante et vaut $a_0=13,6\text{Bq}$ ; à la mort de l'organisme, les échanges avec le milieu extérieur cessent et cette activité décroît. On prélève un gramme de carbone sur un fragment de bois découvert sur un site archéologique : son activité mesurée vaut $a=9,6\text{Bq}$. Données : ${}_5^{14}B$, ${}_6^{14}C$, ${}_7^{14}N$, ${}_8^{14}O$. 1) Écrire l'équation de la désintégration du carbone 14 et identifier le noyau fils, en précisant les lois de conservation utilisées. 2) Calculer la constante radioactive $\lambda$ du carbone 14, exprimée en ${\text{an}}^{-1}$. 3) Rappeler la loi de décroissance de l'activité au cours du temps, puis calculer l'âge $t$ du fragment de bois. 4) Au bout de combien de temps, à compter de la mort de l'arbre, l'activité de cet échantillon sera-t-elle divisée par $8$ par rapport à $a_0$ ? 5) Un élève affirme : « l'activité a diminué d'environ $30\%$ ; comme il faut $5730\text{ans}$ pour qu'elle diminue de $50\%$, l'âge du bois vaut environ $0,30\times 5730\approx 1700\text{ans}$ ». Expliquer pourquoi ce raisonnement est faux.