العد مع قيود - مسألة مهيكلة

التمرين 5 — دوري رياضي وتكوين الفرق

ينظم ناد رياضي بمراكش دوريا. يتوفر النادي على 15 لاعبا متاحا: 6 مدافعين، 5 لاعبي وسط، و 4 مهاجمين.

الجزء A — تكوين فريق من 11 لاعبا

1. كم عدد الفرق المكونة من 11 لاعبا التي يمكن تكوينها من بين 15 لاعبا، دون أي قيد على المراكز؟
2. كم عدد الفرق المكونة من 11 لاعبا التي يمكن تكوينها بحيث تضم بالضبط 4 مدافعين، 4 لاعبي وسط، و 3 مهاجمين؟
3. كم عدد الفرق المكونة من 11 لاعبا التي يمكن تكوينها بحيث تضم على الأقل 3 مهاجمين (مع العلم أنه لا يمكن أن يكون هناك أكثر من 4 مهاجمين متاحين)؟

الجزء B — سحب القرعة وتعيين القائد

4. من بين 11 لاعبا الذين تم اختيارهم حسب تركيبة السؤال 2، يتم تعيين قائد ونائب قائد (دوران متميزان). كم عدد الاختيارات الممكنة؟
5. نرغب بالإضافة إلى ذلك في تكوين مجموعة من 3 لاعبين من بين 11 لاعبا (مختلفين عن القائد ونائب القائد) لإجراء سحب القرعة. كم عدد المجموعات التي يمكن تكوينها؟

الجزء C — برهان تركيبي

6. برهن، باستخدام حجة تركيبية (العد المزدوج)، على المتساوية التالية لكل عدد صحيح $n\ge 1$ :
   $n\times C_{n-1}^{p-1}=p\times C_n^p$،  من أجل $1\le p\le n$.
7. استنتج أن : $\sum _{k=1}^{n}k\times C_n^k=n\times 2^{n-1}$.