Étude d'un satellite de positionnement de type GPS

Difficile
Partager

Énoncé

Les satellites d'un système de positionnement décrivent une orbite circulaire dont la période de révolution vaut la moitié du jour sidéral terrestre, soit . On donne , , , et le jour sidéral .

Satellite de positionnement en orbite circulaire autour de la TerreSchéma d'un satellite en orbite circulaire autour d'un astre. L'astre est représenté par un disque bleu clair au centre, l'orbite par un cercle en pointillés. Le satellite, figuré par un petit cercle, est placé en haut à droite de l'orbite. Deux vecteurs en partent : la force d'attraction gravitationnelle, dirigée vers le centre de l'astre, et le vecteur vitesse, tangent à l'orbite donc perpendiculaire à la force. Un trait de construction relie le centre de l'astre au satellite. Des cotes horizontales donnent le rayon de l'orbite, décomposé le cas échéant en rayon de l'astre plus altitude.Satellite de positionnement de type GPSLa période de révolution vaut la moitié du jour sidéralTerresatelliteFvRhDonnéesT = 43 080 s (période)R₍T₎ = 6 400 kmM₍T₎ = 5,98×10²⁴ kgjour sidéral : 86 164 sL'altitude n'est pas donnée : elle se déduit du rayon trouvé, moins R₍T₎.
Ici c'est la période qui est donnée : c'est elle qui fixe le rayon, par la troisième loi de Kepler.

1. À partir de la troisième loi de Kepler, établir l'expression du rayon orbital en fonction de , , et .

2. Calculer , puis en déduire l'altitude de ces satellites.

3. Calculer la vitesse orbitale de ces satellites.

4. Vérifier que la période correspond à environ deux tours complets par jour sidéral, et expliquer l'intérêt de ce choix pour la couverture terrestre du système.

إرشادات

— انقر للكشف
1 الإرشاد 1
Ici c'est la période qui est donnée : inverse la troisième loi pour obtenir $r = \sqrt[3]{\dfrac{G M_T T^{2}}{4\pi^{2}}}$.
2 الإرشاد 2
L'altitude s'obtient ensuite en retranchant le rayon terrestre. La vitesse suit par $v = \dfrac{2\pi r}{T}$.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Demander à Prof Hicham

الطريقة — من أين نبدأ

Ici c'est la période qui est donnée : inverse la troisième loi pour obtenir .

L'altitude s'obtient ensuite en retranchant le rayon terrestre. La vitesse suit par .

التصحيح المفصّل خطوة بخطوة أسفله.

Exercice Terminé? 🎉

Validez votre réponse pour enregistrer votre progression et gagner des points

كل تمارين الدرس Impesanteur, variation du champ et rentrée atmosphérique