Exercice de synthèse : pendule élastique et bilan énergétique complet

Un pendule élastique horizontal est constitué d'un solide de masse $m=0,2$ kg fixé à un ressort de raideur $k=50$ N/m, glissant sans frottement. On l'écarte de sa position d'équilibre d'une amplitude $A=5$ cm, puis on le lâche sans vitesse initiale. PARTIE 1 — Étude du mouvement. 1) Établir l'équation différentielle vérifiée par l'abscisse $x(t)$ du solide, puis identifier la pulsation propre ${\omega }_0$ du système. 2) Calculer la période propre $T_0$ des oscillations. PARTIE 2 — Bilan énergétique. 3) Calculer l'énergie mécanique totale $E_m$ du système (elle est constante en l'absence de frottement). 4) En déduire la vitesse maximale $v_{max}$ atteinte par le solide, et préciser en quel point de la trajectoire elle est atteinte. 5) Calculer l'énergie potentielle élastique et l'énergie cinétique du solide lorsqu'il passe à l'abscisse $x=\frac{A}{2}$, et vérifier que leur somme redonne bien $E_m$.