Pendule élastique vertical : équation horaire et bilan énergétique

Un ressort à spires non jointives, de raideur $k=20\text{N/m}$ et de masse négligeable, est suspendu par son extrémité supérieure à un support fixe. On accroche à son extrémité inférieure un solide $(S)$ de masse $m=200\text{g}$, assimilé à son centre d'inertie $G$. Les frottements sont d'abord négligés et on prend $g=9,8{\text{m/s}}^2$. 1) Le solide étant en équilibre, calculer l'allongement $\Delta {\ell }_0$ du ressort. 2) On repère la position de $G$ par son abscisse $x$ sur un axe vertical descendant dont l'origine est la position d'équilibre. Établir l'équation différentielle du mouvement et montrer que le terme de pesanteur disparaît. En déduire la pulsation propre ${\omega }_0$ et la période propre $T_0$. 3) On écarte le solide de $4,0\text{cm}$ vers le bas à partir de sa position d'équilibre et on le lâche sans vitesse initiale à l'instant $t=0$. Déterminer l'équation horaire $x(t)$ en précisant l'amplitude, la pulsation et la phase à l'origine. Calculer l'instant du premier passage par la position d'équilibre. 4) Calculer la vitesse maximale et l'accélération maximale du solide, en précisant en quels points de la trajectoire elles sont atteintes, puis retrouver la vitesse maximale par un bilan énergétique. 5) On remplace le solide par un autre de masse $4m$ : comment la période est-elle modifiée ? Enfin, on plonge le dispositif dans un liquide visqueux exerçant de faibles frottements : quel régime observe-t-on, et qu'advient-il de l'énergie mécanique ?