🔢 Opérations sur les nombres
Priorités de calcul
Parenthèses → Puissances → × et ÷ → + et − Ex : 3 + 4 × 2 = 3 + 8 = 11 (pas 14)
Distributivité
a × (b + c) = a×b + a×c Ex : 5 × (3 + 4) = 5×3 + 5×4 = 35
Division euclidienne
a = b × q + r avec 0 ≤ r < b Ex : 17 ÷ 5 → q = 3, r = 2 donc 17 = 5×3 + 2
⚠️ Pièges à éviter
- ✗ Ne jamais ignorer les parenthèses !
- ✗ 3 − 2 + 1 = 2, pas 0 (on calcule de gauche à droite)
- ✗ La division euclidienne : le reste r est toujours inférieur au diviseur
½ Fractions
Simplification
a×k / b×k = a / b Ex : 12/18 = 2/3 (divisé par 6)
Addition (même dénominateur)
a/c + b/c = (a+b)/c Ex : 2/7 + 3/7 = 5/7
Addition (dénominateurs différents)
a/b + c/d = (a×d + b×c) / (b×d) Ex : 1/3 + 1/4 = 4/12 + 3/12 = 7/12
Multiplication
(a/b) × (c/d) = (a×c) / (b×d) Ex : 2/3 × 3/5 = 6/15 = 2/5
Division
(a/b) ÷ (c/d) = (a/b) × (d/c) Ex : 2/3 ÷ 4/5 = 2/3 × 5/4 = 10/12 = 5/6
⚠️ Pièges à éviter
- ✗ On ne peut additionner des fractions qu'avec le même dénominateur
- ✗ 2/3 + 3/4 ≠ 5/7 — il faut réduire au même dénominateur !
- ✗ Pour diviser, on multiplie par l'inverse (on ne divise pas directement)
💡 Pour comparer 2 fractions : les réduire au même dénominateur ou utiliser le produit en croix
📐 Géométrie — Droites, angles
Angles complémentaires
α + β = 90° Ex : 30° et 60° sont complémentaires
Angles supplémentaires
α + β = 180° Ex : 110° et 70° sont supplémentaires
Angles opposés par le sommet
Droites sécantes → angles opposés égaux Ex : Si α = 40°, l'angle OPS = 40°
Angles alternes-internes
Droites parallèles coupées par sécante → angles alternes égaux
⚠️ Pièges à éviter
- ✗ Angle droit = exactement 90°, pas "presque 90°"
- ✗ Angles alternes-internes valables SEULEMENT si les droites sont parallèles
⚖️ Proportionnalité
Coefficient de proportionnalité
y = k × x, où k = y/x est constant Ex : Prix de 3 kg = 3 × prix d'1 kg
Règle de trois (produit en croix)
a/b = c/d ⇔ a×d = b×c Ex : 3/4 = x/12 → x = 3×12/4 = 9
Pourcentage
p% de a = (p/100) × a Ex : 20% de 150 = 0,2 × 150 = 30
⚠️ Pièges à éviter
- ✗ La proportionnalité implique que le rapport est CONSTANT
- ✗ Augmentation de 20% ≠ diminution de 20% ensuite (ce n'est pas nul !)
÷ Divisibilité — PGCD & PPCM
Critères
Divisible par 2 : chiffre pair · par 3 : somme chiffres divisible par 3 · par 9 : idem par 9
Décomposition
360 = 2³ × 3² × 5 Ex : 360 = 2×180 = 2×2×90 = ...
PGCD
Algorithme d'Euclide : PGCD(a,b) = PGCD(b, a mod b) Ex : PGCD(36,24)=PGCD(24,12)=PGCD(12,0)=12
PPCM
PPCM(a,b) = a×b / PGCD(a,b) Ex : PPCM(12,18)=216/6=36
⚠️ Pièges à éviter
- ✗ Divisible par 6 = divisible par 2 ET par 3 (les deux conditions !)
- ✗ PGCD et PPCM : utiliser la décomposition en facteurs premiers pour les grands nombres
💡 Fraction irréductible a/b : diviser a et b par PGCD(a,b)
📐 Périmètres et aires
Carré (côté a)
P = 4a · A = a² Ex : a=5 → P=20, A=25
Rectangle (L×l)
P = 2(L+l) · A = L×l Ex : L=8, l=3 → P=22, A=24
Triangle
P = a+b+c · A = (base × hauteur) / 2
Disque (rayon r)
P (circonférence) = 2πr · A = πr² Ex : r=7 → A=49π≈154
⚠️ Pièges à éviter
- ✗ Aires et périmètres sont différents ! Périmètre = longueur du bord, Aire = surface
- ✗ Pour le triangle : la hauteur est PERPENDICULAIRE à la base
± Nombres relatifs
Addition
Mêmes signes : additionner et garder le signe · Signes différents : soustraire et garder le signe du plus grand Ex : (−5)+(+3)=−2
Soustraction
a − b = a + (−b) Ex : (−4) − (−7) = −4 + 7 = +3
Multiplication
(+)×(+) = (+) · (−)×(−) = (+) · (+)×(−) = (−)
Valeur absolue
|a| = a si a≥0, |a| = −a si a<0 Ex : |−6|=6, |+4|=4
⚠️ Pièges à éviter
- ✗ (−3)² = 9 mais −3² = −9 (sans parenthèses, l'exposant s'applique à 3 seulement)
- ✗ (−2)×(−3)×(−1) = −6 (produit de 3 négatifs = négatif)
💡 Règle des signes : deux signes identiques → + · deux signes différents → −
🪞 Symétrie axiale et centrale
Symétrie axiale (par rapport à droite d)
M' = symétrique de M : d est médiatrice de [MM']
Symétrie centrale (par rapport à point O)
M' = symétrique de M : O est milieu de [MM']
Coordonnées — symétrie centrale
Symétrique de (x;y) par rapport à (a;b) : (2a−x ; 2b−y)
Conservation
Les symétries conservent les distances, les angles et les aires
⚠️ Pièges à éviter
- ✗ Symétrie axiale ≠ symétrie centrale — une a un axe (droite), l'autre un centre (point)
- ✗ Symétrique par rapport à l'origine : (x;y) → (−x;−y)
📊 Statistiques
Moyenne
<span style="text-decoration:overline">x</span> = (somme des valeurs) / (nombre de valeurs) Ex : (5+8+12+15)/4=10
Médiane
Valeur centrale après tri. Si n pair : moyenne des 2 centrales
Mode
Valeur la plus fréquente
Étendue
max − min Ex : Étendue de {3,5,8,12} = 12−3 = 9
Diagramme circulaire
Angle secteur = (fréquence relative) × 360° Ex : 25% → 90°
⚠️ Pièges à éviter
- ✗ Médiane ≠ Moyenne — calculer les deux séparément
- ✗ Diagramme en barres : hauteur = effectif · Diagramme circulaire : angle = % × 360°
Fiche créée par Riyaddiyat · Plateforme de maths pour les élèves marocains