Fiche de révision — 3ème Année Collège

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🔣 Identités remarquables

(a + b)²

(a + b)² = a² + 2ab + b²

Ex : (x+3)² = x²+6x+9

(a − b)²

(a − b)² = a² − 2ab + b²

Ex : (2x−1)² = 4x²−4x+1

Différence de carrés

(a+b)(a−b) = a² − b²

Ex : (x+5)(x−5) = x²−25

⚠️ Pièges à éviter

✗ (a+b)² ≠ a²+b² — Le terme 2ab est souvent oublié !
✗ Pour factoriser a²−b², reconnaître les deux carrés parfaits

💡

Développer = passer d'un produit à une somme · Factoriser = l'inverse

xⁿ Puissances (révision)

Règles essentielles

a<sup>m</sup>×aⁿ=a<sup>m</sup>⁺ⁿ · a<sup>m</sup>÷aⁿ=a<sup>m</sup>⁻ⁿ · (a<sup>m</sup>)ⁿ=a<sup>m</sup>ⁿ

Notation scientifique

a × 10ⁿ avec 1 ≤ a < 10

√ Racines carrées

Définition

√a × √a = a (pour a ≥ 0)

Produit

√(a×b) = √a × √b

Ex : √12 = √(4×3) = 2√3

Quotient

√(a/b) = √a / √b

Simplification

k√a ± m√a = (k±m)√a

Ex : 3√2 + 5√2 = 8√2

Rationalisation

a/√b = a√b/b

Ex : 5/√3 = 5√3/3

⚠️ Pièges à éviter

✗ √(a+b) ≠ √a + √b (erreur très fréquente)
✗ √(a²) = |a| (pas juste "a" si a peut être négatif)

= Équations et systèmes

Équation 1er degré

ax + b = 0 → x = −b/a

Système par substitution

Exprimer x en fonction de y (ou inversement) puis substituer

Système par combinaison

Multiplier une équation pour éliminer une inconnue

⚠️ Pièges à éviter

✗ Vérifier la solution dans les DEUX équations du système

≃ Théorème de Thalès

Énoncé

Si (DE) ∥ (BC) alors DA/AB = DE/BC = AE/AC

Réciproque

Si DA/AB = DE/BC → (DE) ∥ (BC)

Cas des droites sécantes

Même rapport pour les 4 longueurs

⚠️ Pièges à éviter

✗ Bien identifier les triangles emboîtés et l'ordre des sommets
✗ Le rapport est positif si les points sont du même côté

△ Théorème de Pythagore

Direct

Angle droit en A → BC² = AB² + AC²

Réciproque

Si BC²=AB²+AC² → angle droit en A

Triples pythagoriciens

(3,4,5) · (5,12,13) · (8,15,17) · (6,8,10)

💡

L'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit — toujours le plus long

∠ Trigonométrie dans les triangles

Dans un triangle rectangle (angle α)

sin α = côté opp. / hypoténuse · cos α = côté adj. / hypoténuse · tan α = côté opp. / côté adj.

Valeurs remarquables

sin 30°= 1/2 · sin 45°= √2/2 · sin 60°= √3/2

cos 30°= √3/2 · cos 45°= √2/2 · cos 60°= 1/2

Relation fondamentale

cos²α + sin²α = 1 (dans tout triangle rectangle)

Calculer un angle

α = arcsin(opp/hyp) ou α = arccos(adj/hyp) ou α = arctan(opp/adj)

⚠️ Pièges à éviter

✗ SOH-CAH-TOA s'applique UNIQUEMENT dans les triangles rectangles
✗ sin et cos sont entre 0 et 1 pour des angles entre 0° et 90°
✗ Formules des sinus et Al-Kashi (cosinus) : programme 1BAC — pas au programme du brevet !

💡

Pour tout triangle : somme des angles = 180°. Triangle équilatéral : tous côtés égaux, tous angles = 60°

f(x) Fonctions affines

Forme

f(x) = ax + b (a : pente ou coefficient directeur, b : ordonnée à l'origine)

Monotonie

a > 0 : croissante · a < 0 : décroissante · a = 0 : constante (fonction constante)

Zéro de f

f(x) = 0 ⇔ ax + b = 0 ⇔ x = −b/a (si a ≠ 0)

Graphe

Droite passant par (0 ; b) et de pente a · Deux points suffisent

⚠️ Pièges à éviter

✗ Si a = 0 → f(x) = b est une fonction constante (droite horizontale)
✗ Courbe de f : toujours une droite — jamais une courbe pour f affine

< Inéquations du 1er degré

Résoudre ax + b > 0

Isoler x. Si a > 0 : x > −b/a. Si a < 0 : x < −b/a (inversion !)

Règle clé

Multiplier/diviser par un NÉGATIF → inverser le sens de l'inégalité

Inéquation produit

A×B > 0 : tableau de signes → mêmes signes · A×B < 0 : signes opposés

⚠️ Pièges à éviter

✗ Oublier d'inverser l'inégalité quand on × ou ÷ par un nombre négatif — piège classique !
✗ −x > 5 → x < −5 (et non x > −5)

💡

Toujours vérifier le sens de l'inégalité après chaque opération

→ Vecteurs dans le plan

Coordonnées AB→

AB→ = (x_B − xa ; y_B − ya)

Égalité

AB→ = CD→ ⇔ même direction, même sens, même norme

Combinaison linéaire

AM→ = t·AB→ ⇒ A, M, B alignés

Colinéarité

u→(a;b) ∥ v→(c;d) ⇔ ad − bc = 0 (déterminant nul)

Relation de Chasles

AB→ + BC→ = AC→ · AB→ + BA→ = 0→

⚠️ Pièges à éviter

✗ AB→ ≠ BA→ — l'ordre des lettres compte !
✗ Vecteur nul : 0→ est colinéaire à tout vecteur

🎲 Statistiques & Probabilités

Probabilité d'un événement

P(A) = nombre de cas favorables / nombre de cas possibles

Complémentaire

P(Ā) = 1 − P(A)

Ex : P(non 6) = 1 − 1/6 = 5/6

Événements incompatibles

P(A∪B) = P(A) + P(B) si A∩B = ∅

Formule générale

P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B)

Statistiques — Indicateurs

Moyenne <span style="text-decoration:overline">x</span> · Médiane · Mode · Étendue = max−min · Quartiles Q₁, Q₂, Q₃

⚠️ Pièges à éviter

✗ 0 ≤ P(A) ≤ 1 toujours — une probabilité ne peut pas dépasser 1
✗ Événements indépendants ≠ événements incompatibles (confusion fréquente)

💡

Arbre de probabilité : multiplier sur une branche, additionner les branches complètes

Fiche créée par Riyaddiyat · Plateforme de maths pour les élèves marocains