حساب تكامل: 4 طرق تتجاوز التكامل بالتجزيء

الطريقة 1 — الأصل المباشر

إذا تعرفت على مشتقة دالة معروفة، فالأصل فوري.

مثال: $\underset{0}{\overset{1}{\int }}xdx=[\frac{x^2}{2}{]}_0^1=\frac{1}{2}$.

حالات يجب التعرف عليها:

• $\int u^{\prime }\cdot u^{n}dx=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C$ (إذا كان $n\ne -1$).
• $\int \frac{u^{\prime }}{u}dx=\ln |u|+C$.
• $\int u^{\prime }\cdot e^{u}dx=e^u+C$.
• $\int u^{\prime }\cdot \cos udx=\sin u+C$.

الطريقة 2 — التفكيك (الخطية)

$\int (f+g)dx=\int fdx+\int gdx$.

قسّم التعبير إلى أجزاء أبسط.

مثال: $\underset{0}{\overset{1}{\int }}(3x^2+2x+1)dx=\underset{0}{\overset{1}{\int }}3x^{2}dx+\underset{0}{\overset{1}{\int }}2xdx+\underset{0}{\overset{1}{\int }}dx=1+1+1=3$.

الطريقة 3 — تغيير المتغير

الصيغة: نضع $u=g(x)$، إذن $du=g^{\prime }(x)dx$. يصبح التكامل $\int f(u)du$.

مثال: $\int x\sqrt{x^2+1}dx$.

نضع $u=x^2+1$، إذن $du=2xdx$، أي $xdx=du/2$.

يصبح التكامل $\frac{1}{2}\int \sqrt{u}du=\frac{1}{2}\cdot \frac{u^{3/2}}{3/2}+C=\frac{u^{3/2}}{3}+C=\frac{(x^2+1{)}^{3/2}}{3}+C$.

الطريقة 4 — التفكيك إلى عناصر بسيطة

بالنسبة للكسور الجذرية $\frac{P(x)}{Q(x)}$، نفكك:

$\frac{1}{(x-a)(x-b)}=\frac{A}{x-a}+\frac{B}{x-b}$، حيث نجد $A,B$ بالمطابقة.

كل جزء يصبح بعد ذلك تكاملا بدلالة $\ln$.

الطريقة 5 (إضافية) — التماثلات والخاصيات

• $f$ زوجية: $\underset{-a}{\overset{a}{\int }}f(x)dx=2\underset{0}{\overset{a}{\int }}f(x)dx$.
• $f$ فردية: $\underset{-a}{\overset{a}{\int }}f(x)dx=0$.
• $f$ دورية بدورة $T$: $\underset{a}{\overset{a+T}{\int }}f=\underset{0}{\overset{T}{\int }}f$.

متى نستعمل أي طريقة؟

أخطاء يجب تجنبها

• نسيان الثابت $C$ في الأصول (ما عدا التكامل المحدود).
• تغيير المتغير دون تغيير الحدود (تكامل محدود).
• الخلط بين $\ln |x|$ و $\ln x$: القيمة المطلقة إجبارية.

بالإضافة إلى طريقة التكامل بالأجزاء، تغطي هذه التقنيات الأربع 99% من تكاملات الباكالوريا.