Calculer une intégrale : 4 méthodes au-delà de l'IPP

Méthode 1 — Primitive directe

Si tu reconnais la dérivée d'une fonction connue, primitive immédiate.

Exemple : $\underset{0}{\overset{1}{\int }}xdx=[\frac{x^2}{2}{]}_0^1=\frac{1}{2}$.

Cas à reconnaître :

• $\int u^{\prime }\cdot u^{n}dx=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C$ (si $n\ne -1$).
• $\int \frac{u^{\prime }}{u}dx=\ln |u|+C$.
• $\int u^{\prime }\cdot e^{u}dx=e^u+C$.
• $\int u^{\prime }\cdot \cos udx=\sin u+C$.

Méthode 2 — Décomposition (linéarité)

$\int (f+g)dx=\int fdx+\int gdx$.

Casse l'expression en morceaux plus simples.

Exemple : $\underset{0}{\overset{1}{\int }}(3x^2+2x+1)dx=\underset{0}{\overset{1}{\int }}3x^{2}dx+\underset{0}{\overset{1}{\int }}2xdx+\underset{0}{\overset{1}{\int }}dx=1+1+1=3$.

Méthode 3 — Changement de variable

Formule : pose $u=g(x)$, alors $du=g^{\prime }(x)dx$. L'intégrale devient $\int f(u)du$.

Exemple : $\int x\sqrt{x^2+1}dx$.

Pose $u=x^2+1$, donc $du=2xdx$, soit $xdx=du/2$.

L'intégrale devient $\frac{1}{2}\int \sqrt{u}du=\frac{1}{2}\cdot \frac{u^{3/2}}{3/2}+C=\frac{u^{3/2}}{3}+C=\frac{(x^2+1{)}^{3/2}}{3}+C$.

Méthode 4 — Décomposition en éléments simples

Pour les fractions rationnelles $\frac{P(x)}{Q(x)}$, décompose :

$\frac{1}{(x-a)(x-b)}=\frac{A}{x-a}+\frac{B}{x-b}$, où $A,B$ se trouvent par identification.

Chaque morceau est ensuite une intégrale en $\ln$.

Méthode 5 (bonus) — Symétries et propriétés

• $f$ paire : $\underset{-a}{\overset{a}{\int }}f(x)dx=2\underset{0}{\overset{a}{\int }}f(x)dx$.
• $f$ impaire : $\underset{-a}{\overset{a}{\int }}f(x)dx=0$.
• $f$ périodique de période $T$ : $\underset{a}{\overset{a+T}{\int }}f=\underset{0}{\overset{T}{\int }}f$.

Quand utiliser quoi ?

Forme	Méthode
Polynôme	Primitive directe
Produit type $u^{\prime }(x)\cdot f(u)$	Changement de variable
Fraction rationnelle	Éléments simples
Produit $f(x)g(x)$ sans pattern simple	IPP
Fonction paire/impaire/périodique	Symétrie

Erreurs à éviter

• Oublier la constante $C$ dans les primitives (sauf intégrale définie).
• Changer de variable sans changer les bornes (intégrale définie).
• Confondre $\ln |x|$ et $\ln x$ : la valeur absolue est obligatoire.

Combiné à la méthode IPP, ces 4 techniques couvrent 99% des intégrales du bac.