كيفية حساب نهاية: جميع الطرق

الخطوة 0 — التعويض المباشر

حاول دائمًا أولاً: عوض $x$ بقيمتها المستهدفة. إذا حصلت على عدد منته أو $\pm \infty$، فهذه هي النهاية. وإلا (شكل غير محدد)، انتقل إلى التقنيات التالية.

الأشكال غير المحددة السبعة

$\frac{0}{0},\frac{\infty }{\infty },0\times \infty ,\infty -\infty ,1^{\infty },0^0,{\infty }^0$

التقنية 1 — التحليل إلى جداء

حالة $\frac{0}{0}$ مع كثيرات الحدود: حلل بـ $(x-a)$ في البسط والمقام، ثم بسط.

مثال: $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x^2-4}{x-2}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=\underset{x\to 2}{\lim }(x+2)=4$.

التقنية 2 — المرافق

للجذور في $\frac{0}{0}$: اضرب في المرافق.

مثال: $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{x+1}-1}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{(x+1)-1}{x(\sqrt{x+1}+1)}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{\sqrt{x+1}+1}=\frac{1}{2}$.

التقنية 3 — النمو المقارن

$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{e^x}{x^n}=+\infty$ و $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\ln x}{x^n}=0$. انظر بطاقة النهايات لجميع القيم.

التقنية 4 — النهايات الشهيرة

يجب حفظها عن ظهر قلب:

• $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$
• $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-1}{x}=1$
• $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln (1+x)}{x}=1$

التقنية 5 — مبرهنة الحصر (الدركيين)

إذا كان $g(x)\le f(x)\le h(x)$ و $\lim g=\lim h=L$، فإن $\lim f=L$. مفيدة للعبارات المتذبذبة من نوع $\sin (x)/x^2$.

التقنية 6 — تعريف المشتقة

إذا رأيت $\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ مع $x\to a$، فهذا $f^{\prime }(a)$ بالتعريف.

حالة خاصة: $\infty -\infty$

أخرج الحد الأكبر عاملاً مشتركًا.

مثال: $\underset{x\to +\infty }{\lim }(x-\sqrt{x^2+1})=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^2-(x^2+1)}{x+\sqrt{x^2+1}}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{-1}{x+\sqrt{x^2+1}}=0$.

تريد المزيد من الأمثلة؟

اذهب إلى درس النهايات والاتصال للسنة الثانية باكالوريا على Atlasmaths.