الاشتقاقية في باكالوريا العلوم الرياضية: دليل شامل

لماذا الاشتقاقية هي الحلقة المركزية

الاشتقاقية تربط بين النهايات ودراسة الدوال. في باكالوريا العلوم الرياضية، تظهر في كل موضوع: العدد المشتق، إشارة المشتقة، مبرهنة التزايدات المنتهية، مشتقة دالة مركبة. إتقان هذا الفصل = حل 50% من أسئلة التحليل.

I. العدد المشتق: التعريف

$f$ قابلة للاشتقاق في $a$ إذا كانت النهاية التالية موجودة ومنتهية:

$f^{\prime }(a)=\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$

التفسير الهندسي: $f^{\prime }(a)$ هو معامل توجيه المماس لـ $C_f$ عند النقطة $A(a,f(a))$.

معادلة المماس

$T_a:y=f^{\prime }(a)(x-a)+f(a)$

II. الاشتقاقية على اليمين وعلى اليسار

$f$ قابلة للاشتقاق في $a$ إذا وفقط إذا كانت $f$ قابلة للاشتقاق على اليسار وعلى اليمين في $a$ و $f_g^{\prime }(a)=f_d^{\prime }(a)$.

مثال كلاسيكي جدا: $f(x)=|x|$ في 0.
$f_d^{\prime }(0)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{|x|-0}{x}=\lim \frac{x}{x}=1$.
$f_g^{\prime }(0)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{|x|}{x}=\lim \frac{-x}{x}=-1$.
إذن $f$ غير قابلة للاشتقاق في 0 (نقطة زاوية).

المماس العمودي

إذا كان $\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\pm \infty$، فإن $f$ ليست قابلة للاشتقاق في $a$ لكن $C_f$ يقبل مماسا عموديا في $A(a,f(a))$.

III. جدول المشتقات الاعتيادية (يجب حفظه)

• $(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$
• $(\sqrt{x}{)}^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ (من أجل $x>0$)
• ${\left(\frac{1}{x}\right)}^{\prime }=-\frac{1}{x^2}$
• $(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$، $(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$
• $(\tan x{)}^{\prime }=1+{\tan }^{2}x=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$
• $(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$، $(e^x{)}^{\prime }=e^x$

IV. قواعد الحساب

• $(u+v{)}^{\prime }=u^{\prime }+v^{\prime }$
• $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$
• ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$
• $(u^n{)}^{\prime }=n\cdot u^{n-1}\cdot u^{\prime }$ (دالة قوة مركبة)
• $(\sqrt{u}{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{2\sqrt{u}}$
• $(\ln u{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{u}$
• $(e^u{)}^{\prime }=u^{\prime }\cdot e^u$

مشتقة دالة مركبة $f\circ g$

$(f\circ g{)}^{\prime }(x)=g^{\prime }(x)\cdot f^{\prime }(g(x))$

مثال: $h(x)=\sin (x^2+1)$. نضع $u(x)=x^2+1$، إذن $h=\sin \circ u$. إذن $h^{\prime }(x)=u^{\prime }(x)\cdot \cos (u(x))=2x\cos (x^2+1)$.

V. المبرهنات الأساسية (لا غنى عنها)

مبرهنة رول

إذا كانت $f$ متصلة على $[a,b]$، قابلة للاشتقاق على $]a,b[$، وإذا كان $f(a)=f(b)$، فإنه يوجد $c\in ]a,b[$ بحيث $f^{\prime }(c)=0$.

مبرهنة التزايدات المنتهية (TAF)

إذا كانت $f$ متصلة على $[a,b]$، قابلة للاشتقاق على $]a,b[$، فإنه يوجد $c\in ]a,b[$ بحيث:

$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f^{\prime }(c)$

متراجحة التزايدات المنتهية (IAF)

إذا كان $|f^{\prime }(x)|\le M$ على $[a,b]$، فإن $|f(b)-f(a)|\le M|b-a|$.

تطبيق في باكالوريا العلوم الرياضية: برهان تقارب متتالية عبر المتراجحة $|u_{n+1}-\ell |\le k|u_n-\ell |$ حيث $k=\sup |f^{\prime }|$. انظر النموذج 6 للمتتاليات.

VI. العلاقة بين المشتقة وجهة التغير

لتكن $f$ قابلة للاشتقاق على مجال $I$:

• $f^{\prime }\ge 0$ على $I$ ⟺ $f$ متزايدة على $I$.
• $f^{\prime }>0$ على $I$ (ما عدا في عدد منته من النقط) ⟹ $f$ متزايدة تماما.
• $f^{\prime }=0$ على $I$ ⟹ $f$ ثابتة على $I$.

تمرين نموذجي مصحح من باكالوريا العلوم الرياضية

نص التمرين: لتكن $f(x)=\sqrt{x^2+1}-x$ على $\mathbb{R}$.

1. بين أن $f$ قابلة للاشتقاق على $\mathbb{R}$ واحسب $f^{\prime }(x)$.
2. ادرس إشارة $f^{\prime }(x)$ واستنتج جهة تغير $f$.

الحل:

(1) بما أن $x^2+1>0$ من أجل كل $x\in \mathbb{R}$، فإن $\sqrt{x^2+1}$ قابلة للاشتقاق على $\mathbb{R}$. إذن $f$ أيضا.

$f^{\prime }(x)=\frac{2x}{2\sqrt{x^2+1}}-1=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}-1=\frac{x-\sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2+1}}$.

(2) بما أن $\sqrt{x^2+1}>0$، فإن $f^{\prime }$ لها نفس إشارة $x-\sqrt{x^2+1}$.

لكن $\sqrt{x^2+1}>\sqrt{x^2}=|x|\ge x$، إذن $x-\sqrt{x^2+1}<0$ من أجل كل $x$.

إذن $f^{\prime }(x)<0$ على $\mathbb{R}$، و $f$ متناقصة تماما على $\mathbb{R}$.

أهم 10 أخطاء حول الاشتقاقية

1. الخلط بين الاشتقاقية والاتصال (قابلة للاشتقاق ⟹ متصلة، لكن العكس خاطئ).
2. نسيان التحقق من $f_g^{\prime }(a)=f_d^{\prime }(a)$ للدوال ذات عدة فروع.
3. تطبيق الصيغة $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }{v}^{\prime }$ (خطأ، الصحيح $u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$).
4. تطبيق ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{v^{\prime }}$ (خطأ).
5. نسيان $u^{\prime }$ في $(\ln u{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{u}$ أو $(e^u{)}^{\prime }=u^{\prime }\cdot e^u$.
6. الخلط بين المماس العمودي وعدم الاشتقاقية بسبب عدم الاتصال.
7. تطبيق رول أو مبرهنة التزايدات المنتهية دون التحقق من الاتصال والاشتقاقية.
8. نسيان المتراجحة الصارمة $f^{\prime }>0$ للرتابة الصارمة (مقابل $f^{\prime }\ge 0$ للرتابة).
9. وضع الحدود المفتوحة/المغلقة بشكل خاطئ في رول (متصلة على مغلق، قابلة للاشتقاق على مفتوح).
10. حساب $(x^x{)}^{\prime }$ على أنها $x\cdot x^{x-1}$ (خطأ، يجب كتابة $x^x=e^{x\ln x}$).

خطة الدراسة (أسبوع واحد)

• اليوم 1: تعريف العدد المشتق + 6 تمارين "حساب $f^{\prime }(a)$ عبر النهاية".
• اليوم 2: الجدول وقواعد الاشتقاق (15 حسابا).
• اليوم 3: مشتقة دالة مركبة (8 تمارين).
• اليوم 4: الاشتقاقية على اليسار/اليمين، المماس العمودي (5 تمارين).
• اليوم 5: رول، مبرهنة التزايدات المنتهية، متراجحة التزايدات المنتهية (6 تمارين).
• اليوم 6-7: 3 مسائل كاملة نموذجية من الباكالوريا.

انظر أيضا: رول ومبرهنة التزايدات المنتهية، دراسة الدالة، النهايات والاتصال.