دراسة إشارة عبارة: دليل عملي

لماذا ندرس الإشارة؟

لحل $f(x)\ge 0$، دراسة تغيرات $f$ (عبر إشارة $f^{\prime }$)، أو تحديد مجموعة تعريف $\sqrt{f}$ أو $\ln (f)$: أنت بحاجة إلى الإشارة.

الاستراتيجية العامة

1. حلل العبارة إلى جداء عوامل بشكل كامل.
2. حدد العوامل وأصفارها.
3. أنشئ جدول إشارة عامل بعامل.
4. اضرب الإشارات سطرا بسطر للحصول على الإشارة النهائية.

الحالة 1 — عبارة من الدرجة الأولى $ax+b$

الصفر: $x=-b/a$.

• إذا كان $a>0$: سالبة قبل $-b/a$، موجبة بعدها.
• إذا كان $a<0$: العكس.

الحالة 2 — كثير حدود من الدرجة الثانية $a{x}^2+bx+c$

احسب $\Delta =b^2-4ac$:

• $\Delta >0$: جذران $x_1<x_2$. الإشارة = إشارة $a$ في الخارج، الإشارة المعاكسة في الداخل.
• $\Delta =0$: جذر مضاعف. إشارة $a$ في كل مكان (ما عدا عند $x_0$ حيث تنعدم).
• $\Delta <0$: لا يوجد جذر. إشارة $a$ في كل مكان.

الحالة 3 — كثير حدود من الدرجة 3 أو أكثر

1. ابحث عن جذر واضح (غالبا $0,1,-1,2,-2$).
2. حلل بواسطة $(x-\text{الجذر})$ عبر القسمة أو طريقة Horner.
3. واصل حتى تصل إلى الدرجة الثانية أو عوامل من الدرجة الأولى.

الحالة 4 — خارج قسمة $\frac{P(x)}{Q(x)}$

1. ادرس إشارة البسط $P$ والمقام $Q$ بشكل منفصل.
2. استثن أصفار $Q$ من المجال (ضع خطا مزدوجا).
3. اضرب سطر $P$ × سطر $Q$ للحصول على إشارة خارج القسمة.

الحالة 5 — عبارة تحتوي على exp أو log

• $e^x>0$ لكل $x$: إشارة $e^{x}f(x)$ = إشارة $f(x)$.
• $\ln (x)$ لها الإشارة: سالبة على $]0,1[$، منعدمة عند $1$، موجبة على $]1,+\infty [$.

مثال محلول

ادرس إشارة $f(x)=(x-2)e^x\ln (x)$ على $]0,+\infty [$.

إشارات العوامل الثلاثة:

• $x-2<0$ إذا كان $x<2$، $>0$ إذا كان $x>2$.
• $e^x>0$ في كل مكان.
• $\ln (x)<0$ إذا كان $0<x<1$، $>0$ إذا كان $x>1$.

الجدول:

إذن $f(x)\ge 0$ على $]0,1]\cup [2,+\infty [$.

الأخطاء الشائعة

• نسيان أن خارج القسمة غير معرف عندما ينعدم المقام.
• ضرب متراجحات دون النظر إلى الإشارات (ممنوع بشكل عام).
• تحليل خاطئ: تحقق دائما بالتطوير.

انظر أيضا: جدول الإشارة الكامل.