الهندسة في الفضاء في باكالوريا العلوم الرياضية: دليل شامل

لماذا يُحقق هذا الفصل نقاطًا بسرعة

الهندسة الفضائية تظهر في 50 إلى 60 % من مواضيع باكالوريا العلوم الرياضية بالمغرب، وتساوي من 2 إلى 3 نقاط. الفصل حسابي جدًا: التحرير يكون دائمًا تقريبًا متشابهًا، مما يجعله فصلًا ذا مردودية عالية للتلاميذ المنظمين.

I. المتجهات والجداء السلمي في الفضاء

المعلم المتعامد المتجانس المباشر

نشتغل في $(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ متعامد متجانس مباشر. نقطة $A$ إحداثياتها $(x_A,y_A,z_A)$. متجهة $\vec{u}$ إحداثياتها $(x,y,z)$.

الجداء السلمي

بالنسبة لـ $\vec{u}(x,y,z)$ و $\vec{v}(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })$ :

$\vec{u}\cdot \vec{v}=x{x}^{\prime }+y{y}^{\prime }+z{z}^{\prime }=||\vec{u}||\cdot ||\vec{v}||\cdot \cos \theta$

حيث $\theta$ هي الزاوية بين $\vec{u}$ و $\vec{v}$.

المعيار والمسافة

• $||\vec{u}||=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$
• $AB=\sqrt{(x_B-x_A{)}^2+(y_B-y_A{)}^2+(z_B-z_A{)}^2}$

التعامد

$\vec{u}\perp \vec{v}⟺\vec{u}\cdot \vec{v}=0$.

II. الجداء الاتجاهي (في برنامج باكالوريا العلوم الرياضية)

التعريف

$\vec{u}\wedge \vec{v}$ هي المتجهة بحيث:

• $\vec{u}\wedge \vec{v}$ متعامدة مع $\vec{u}$ و $\vec{v}$.
• $||\vec{u}\wedge \vec{v}||=||\vec{u}||\cdot ||\vec{v}||\cdot |\sin \theta |$.
• $(\vec{u},\vec{v},\vec{u}\wedge \vec{v})$ معلم مباشر.

الحساب بالإحداثيات

إذا كانت $\vec{u}(x,y,z)$ و $\vec{v}(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })$ :

$\vec{u}\wedge \vec{v}=(y{z}^{\prime }-z{y}^{\prime },z{x}^{\prime }-x{z}^{\prime },x{y}^{\prime }-y{x}^{\prime })$

الخاصيات الأساسية

• $\vec{u}\wedge \vec{v}=-\vec{v}\wedge \vec{u}$ (غير تبديلي).
• $\vec{u}\wedge \vec{v}=\vec{0}⟺\vec{u}$ و $\vec{v}$ مرتبطتان خطيًا.
• $||\vec{u}\wedge \vec{v}||$ = مساحة متوازي الأضلاع المبني على $\vec{u}$ و $\vec{v}$.

III. معادلات المستقيم والمستوى

المستقيم

مستقيم $D$ يمر من $A(x_A,y_A,z_A)$ وموجه بـ $\vec{u}(a,b,c)$ :

التمثيل البارامتري:

$\{\begin{array}{l}x=x_A+ta\\ y=y_A+tb\\ z=z_A+tc\end{array}$ مع $t\in \mathbb{R}$.

المستوى

مستوى $\mathcal{P}$ يمر من $A$ ومتجهة ناظمية $\vec{n}(a,b,c)$ :

المعادلة الديكارتية: $a(x-x_A)+b(y-y_A)+c(z-z_A)=0$، أي $ax+by+cz+d=0$.

نصيحة: المعاملات $(a,b,c)$ في المعادلة الديكارتية هي إحداثيات متجهة ناظمية للمستوى!

IV. طرق الباكالوريا الأكثر ورودًا

معادلة مستوى يمر من 3 نقط $A$ و $B$ و $C$

1. حساب $\overrightarrow{AB}$ و $\overrightarrow{AC}$.
2. حساب $\vec{n}=\overrightarrow{AB}\wedge \overrightarrow{AC}$ (متجهة ناظمية).
3. المعادلة هي $\vec{n}\cdot \overrightarrow{AM}=0$ مع $M(x,y,z)$.

مسافة نقطة $M_0$ من مستوى معادلته $ax+by+cz+d=0$

$d(M_0,\mathcal{P})=\frac{|a{x}_0+b{y}_0+c{z}_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$

الوضع النسبي مستقيم/مستوى

• مستقيم موازٍ للمستوى: $\vec{u}\cdot \vec{n}=0$ (متجهة موجهة متعامدة مع الناظمية).
• مستقيم عمودي على المستوى: $\vec{u}$ و $\vec{n}$ مرتبطتان خطيًا.
• التقاطع: تعويض التمثيل البارامتري في معادلة المستوى، حل المعادلة في $t$.

V. الكرات

معادلة كرة

كرة مركزها $\Omega (a,b,c)$ ونصف قطرها $R$ :

$(x-a{)}^2+(y-b{)}^2+(z-c{)}^2=R^2$

الشكل المفكك

$x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+(a^2+b^2+c^2-R^2)=0$.

التعرف على معادلة كرة: إذا كانت على الشكل $x^2+y^2+z^2+\alpha x+\beta y+\gamma z+\delta =0$، نكمل المربعات.

تقاطع كرة-مستوى

لتكن $d$ المسافة من المركز $\Omega$ إلى المستوى $\mathcal{P}$.

• إذا $d>R$ : لا يوجد تقاطع.
• إذا $d=R$ : المستوى مماس للكرة (نقطة واحدة).
• إذا $d<R$ : التقاطع = دائرة مركزها $H$ (إسقاط $\Omega$ على $\mathcal{P}$) ونصف قطرها $r=\sqrt{R^2-d^2}$.

تمرين نموذجي من الباكالوريا مع التصحيح

نص التمرين: في معلم متعامد متجانس، $A(1,0,2)$ و $B(2,1,0)$ و $C(0,1,1)$.

1. حدد معادلة ديكارتية للمستوى $(ABC)$.
2. احسب مسافة النقطة $D(3,-1,2)$ من المستوى $(ABC)$.

(1) $\overrightarrow{AB}(1,1,-2)$ و $\overrightarrow{AC}(-1,1,-1)$.

$\vec{n}=\overrightarrow{AB}\wedge \overrightarrow{AC}=(1\cdot (-1)-(-2)\cdot 1,(-2)\cdot (-1)-1\cdot (-1),1\cdot 1-1\cdot (-1))=(1,3,2)$.

المعادلة: $1(x-1)+3(y-0)+2(z-2)=0$، أي $\boxed{x+3y+2z-5=0}$.

(2) $d(D,(ABC))=\frac{|3+3(-1)+2(2)-5|}{\sqrt{1+9+4}}=\frac{|-1|}{\sqrt{14}}=\frac{1}{\sqrt{14}}$.

أهم 10 أخطاء في الهندسة الفضائية

1. الخلط بين إحداثيات نقطة وإحداثيات متجهة.
2. نسيان كتابة القيمة المطلقة في صيغة المسافة.
3. عكس الترتيب في الجداء الاتجاهي (الإشارة معكوسة).
4. الخلط بين متجهة موجهة (مستقيم) ومتجهة ناظمية (مستوى).
5. الاستنتاج أن مستقيمين متقاطعان إذا لم يكونا متوازيين (خطأ، قد يكونان غير متقاطعين).
6. نسيان المعامل $d$ في معادلة المستوى.
7. حساب معيار بدون الجذر التربيعي.
8. الخلط بين $\sin$ و $\cos$ في الجداء السلمي والاتجاهي.
9. نسيان التحقق من أن النقط الثلاث غير مستقيمية قبل تحديد مستوى.
10. الخلط بين "عمودي" و "متعامد" (في الفضاء، يمكن لمستقيمين أن يكونا متعامدين دون أن يتقاطعا).

خطة المراجعة (5 أيام)

• اليوم 1: المتجهات، الجداء السلمي، المعيار (8 تمارين).
• اليوم 2: الجداء الاتجاهي (8 حسابات + 3 مسائل).
• اليوم 3: معادلات المستقيم والمستوى (6 تمارين).
• اليوم 4: المسافات، الأوضاع النسبية (5 تمارين).
• اليوم 5: الكرات + موضوع باكالوريا كامل.

انظر أيضًا: منهجية البراهين الصارمة، الاحتمالات.