التكاملات والدوال الأصلية في باكالوريا العلوم الرياضية: دليل شامل

لماذا يعتبر التكامل حاسماً في باكالوريا العلوم الرياضية

يظهر حساب التكامل في جميع مواضيع باكالوريا العلوم الرياضية، وغالباً ما يتوزع على 3 إلى 5 أسئلة تساوي 4-6 نقاط. كما أنه من أكثر الفصول تقنية: خطأ واحد في الإشارة أو في الحدود يكلفك السؤال بأكمله.

I. جدول الأصليات الاعتيادية (يجب حفظها عن ظهر قلب)

إليك 12 أصلية يجب أن تحفظها دون تردد:

• $\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$ (من أجل $n\ne -1$)
• $\int \frac{1}{x}dx=\ln |x|+C$
• $\int e^{x}dx=e^x+C$
• $\int e^{ax+b}dx=\frac{1}{a}{e}^{ax+b}+C$
• $\int \cos xdx=\sin x+C$
• $\int \sin xdx=-\cos x+C$
• $\int \frac{1}{{\cos }^{2}x}dx=\tan x+C$
• $\int \tan xdx=-\ln |\cos x|+C$
• $\int \frac{u^{\prime }(x)}{u(x)}dx=\ln |u(x)|+C$
• $\int u^{\prime }(x)\cdot u(x{)}^{n}dx=\frac{u(x{)}^{n+1}}{n+1}+C$
• $\int u^{\prime }(x)\cdot e^{u(x)}dx=e^{u(x)}+C$
• $\int \frac{u^{\prime }(x)}{\sqrt{u(x)}}dx=2\sqrt{u(x)}+C$

II. التقنيات الثلاث لحساب التكامل في باكالوريا العلوم الرياضية

التقنية 1: التعرف المباشر (60% من الحالات)

تتعرف على أصلية من الجدول. مثال: $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{2x}{x^2+1}dx$. نتعرف على $\frac{u^{\prime }}{u}$ حيث $u(x)=x^2+1$. إذن: $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{2x}{x^2+1}dx=[\ln (x^2+1){]}_0^1=\ln 2$.

التقنية 2: التكامل بالتجزيء

الصيغة: $\underset{a}{\overset{b}{\int }}u(x)v^{\prime }(x)dx=[u(x)v(x){]}_a^b-\underset{a}{\overset{b}{\int }}{u}^{\prime }(x)v(x)dx$.

متى نستعملها؟ عندما يكون التكامل جداءً حيث أحد العاملين يبسط بالاشتقاق.

اختيار $u$ (قاعدة LIATE): اللوغاريتم، الدوال المثلثية العكسية، الجبرية، المثلثية، الأسية. اختر $u$ حسب هذا الترتيب من الأفضلية.

مثال من الباكالوريا: $\underset{0}{\overset{1}{\int }}x{e}^{x}dx$. نضع $u=x$ (جبرية) و $v^{\prime }=e^x$. إذن $u^{\prime }=1$، $v=e^x$.
$\underset{0}{\overset{1}{\int }}x{e}^{x}dx=[x{e}^x{]}_0^1-\underset{0}{\overset{1}{\int }}{e}^{x}dx=e-(e-1)=1$.

التقنية 3: تغيير المتغير (نادر في باكالوريا العلوم الرياضية)

في باكالوريا العلوم الرياضية بالمغرب، تغيير المتغير نادراً ما يكون صريحاً — نقوم به ضمنياً عبر الصيغة $\int u^{\prime }(x)f(u(x))dx$. كن مستعداً للتعرف على هذه الأشكال.

III. حساب المساحة (سؤال شبه منهجي)

مساحة المجال المحصور بين المنحنى $C_f$، محور الفواصل، والمستقيمين $x=a$، $x=b$ هي:

$\mathcal{A}=\underset{a}{\overset{b}{\int }}|f(x)|dx$

الطريقة:

1. ادرس إشارة $f$ على $[a,b]$.
2. إذا كانت $f\ge 0$ على كامل المجال: $\mathcal{A}=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$.
3. إذا غيرت $f$ إشارتها عند $c$: $\mathcal{A}=\underset{a}{\overset{c}{\int }}|f(x)|dx+\underset{c}{\overset{b}{\int }}|f(x)|dx$ (مع وضع الإشارة الصحيحة).
4. لا تنس وحدة المساحة: إذا كانت الوحدة البيانية $=2$ سم في $x$ و $3$ سم في $y$، فإن $1\text{ u.a.}=6{\text{ cm}}^2$.

IV. الخاصيات الأساسية للتكامل

• الخطية: $\underset{a}{\overset{b}{\int }}(\alpha f+\beta g)=\alpha \underset{a}{\overset{b}{\int }}f+\beta \underset{a}{\overset{b}{\int }}g$.
• علاقة Chasles: $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f=\underset{a}{\overset{c}{\int }}f+\underset{c}{\overset{b}{\int }}f$.
• الموجبية: إذا كانت $f\ge 0$ على $[a,b]$ (مع $a\le b$)، فإن $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\ge 0$.
• التزايد: إذا كانت $f\le g$ على $[a,b]$، فإن $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\le \underset{a}{\overset{b}{\int }}g$.
• متراجحة المتوسط: $m(b-a)\le \underset{a}{\overset{b}{\int }}f\le M(b-a)$ حيث $m\le f\le M$ على $[a,b]$.

V. التكاملات المعرفة لمتتالية (النموذج الكلاسيكي في باكالوريا العلوم الرياضية)

الشكل النموذجي: $I_n=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x^n}{1+x}dx$ أو $J_n=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^n{e}^{-x}dx$.

الطريقة المعتادة:

1. حصر $I_n$: أوجد تقييماً بسيطاً عبر الموجبية أو متراجحة المتوسط.
2. اتجاه التغير: ادرس $I_{n+1}-I_n$ عبر الخطية.
3. النهاية: طبق مبرهنة الحصر لإثبات أن $I_n\to 0$.
4. علاقة الترجع: غالباً عبر التكامل بالتجزيء، من النوع $I_{n+1}=a-b{I}_n$.
5. حساب مجموع: انطلاقاً من العلاقة، احسب $\sum _{k=0}^n{I}_k$ أو $\sum (-1{)}^k{I}_k$.

مثال من باكالوريا العلوم الرياضية 2023: $I_n=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x^n}{1+x}dx$.
الحصر: من أجل $x\in [0,1]$، $1\le 1+x\le 2$، إذن $\frac{x^n}{2}\le \frac{x^n}{1+x}\le x^n$. بالتكامل: $\frac{1}{2(n+1)}\le I_n\le \frac{1}{n+1}$.
النهاية: بالحصر، $\lim I_n=0$.
العلاقة: $I_{n+1}+I_n=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x^n(x+1)}{1+x}dx=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^{n}dx=\frac{1}{n+1}$.

VI. حجم مجسم دوراني (نادر لكنه يظهر)

الحجم الناتج عن دوران $C_f$ حول $(Ox)$ بين $x=a$ و $x=b$ هو:

$V=\pi \underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x{)}^{2}dx$

أهم 10 أخطاء يجب تجنبها

1. نسيان القيمة المطلقة في $\int \frac{1}{x}dx=\ln |x|$.
2. عكس الحدود دون تغيير الإشارة.
3. الخلط بين $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$ (الذي يمكن أن يكون سالباً) والمساحة (دائماً موجبة).
4. القيام بالتكامل بالتجزيء مع اختيار خاطئ لـ $u$ (يصبح التكامل أكثر تعقيداً).
5. نسيان التحقق من اتصال $f$ على $[a,b]$ قبل التكامل.
6. نسيان وحدة المساحة في النتيجة النهائية.
7. الخلط بين الأصلية (بدون حدود، $+C$) والتكامل (مع حدود، عدد).
8. حساب $\int u^{\prime }(x)u(x{)}^{n}dx$ بأصلية من النوع $\frac{u(x{)}^{n+1}}{n+1}$ مع نسيان أن هذا صحيح فقط لأن لدينا $u^{\prime }$ أمامها.
9. نسيان حساب $[F(x){]}_a^b$ عند الحدود (البقاء مع أصلية دون حساب الفرق).
10. القيام بالتكامل بالتجزيء "بشكل دائري" دون ملاحظة أنه لا يؤدي إلى شيء (إشارة لتغيير الطريقة).

خطة المراجعة الموصى بها

• اليوم 1: حفظ جدول الأصليات الـ12 عن ظهر قلب. اختبر نفسك.
• اليوم 2-3: 10 تمارين حساب مباشر مع التعرف على $u^{\prime }/u$، $u^{\prime }{u}^n$، إلخ.
• اليوم 4-5: 8 تمارين للتكامل بالتجزيء. أتقن اختيار $u$.
• اليوم 6-7: 4 مسائل كاملة حول التكاملات-المتتاليات (امتحانات سابقة).
• اليوم 8: موضوع باكالوريا كامل، جزء التكاملات في ظروف حقيقية.

انظر أيضاً: طرق حساب التكامل، اللوغاريتم والأسية.