اللوغاريتم والدالة الأسية: الدليل الشامل لباكالوريا العلوم الرياضية

لماذا يعتبر هذا الفصل الأكثر ربحية في باكالوريا العلوم الرياضية

يظهر اللوغاريتم والدالة الأسية في 100 % من مواضيع باكالوريا العلوم الرياضية، بقيمة 5 إلى 7 نقاط (غالبا التمرين المحوري). بمجرد إتقانه، يصبح فصلا "آليا": نتبع طريقة شبه ميكانيكية. إليك المرجع المطلق.

I. التعاريف والخاصيات الأساسية

الدالة $\ln$ (اللوغاريتم النيبيري)

$\ln$ معرفة على $]0,+\infty [$، متصلة وقابلة للاشتقاق. مشتقتها هي $(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$.

• $\ln 1=0$، $\ln e=1$.
• $\ln$ تزايدية قطعا على $]0,+\infty [$.
• $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\ln x=-\infty$ و $\underset{x\to +\infty }{\lim }\ln x=+\infty$.

الدالة $\exp$ (الدالة الأسية)

$\exp$ معرفة على $\mathbb{R}$، متصلة، قابلة للاشتقاق. مشتقتها هي $(\exp x{)}^{\prime }=\exp x=e^x$.

• $e^0=1$، $e^1=e\approx 2.718$.
• $\exp$ تزايدية قطعا على $\mathbb{R}$ وموجبة قطعا دائما.
• $\underset{x\to -\infty }{\lim }{e}^x=0$ و $\underset{x\to +\infty }{\lim }{e}^x=+\infty$.

العلاقة الأساسية

$\ln$ و $\exp$ دالتان عكسيتان:

• لكل $x>0$: $e^{\ln x}=x$.
• لكل $x\in \mathbb{R}$: $\ln (e^x)=x$.
• $e^x=y⟺x=\ln y$ (مع $y>0$).

II. الخاصيات الجبرية (يجب حفظها عن ظهر قلب)

بالنسبة لـ $\ln$ (مع $a>0$، $b>0$، $n\in \mathbb{Z}$)

• $\ln (ab)=\ln a+\ln b$
• $\ln \frac{a}{b}=\ln a-\ln b$
• $\ln (a^n)=n\ln a$
• $\ln \sqrt{a}=\frac{1}{2}\ln a$
• $\ln \frac{1}{a}=-\ln a$

بالنسبة لـ $\exp$ (مع $a,b\in \mathbb{R}$، $n\in \mathbb{Z}$)

• $e^{a+b}=e^a\cdot e^b$
• $e^{a-b}=\frac{e^a}{e^b}$
• $(e^a{)}^n=e^{na}$
• $e^{-a}=\frac{1}{e^a}$

III. النمو المقارن (السلاح السري)

لكل $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$:

• $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\ln x}{x^n}=0$
• $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{x}^n\ln x=0$
• $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{e^x}{x^n}=+\infty$
• $\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^n{e}^x=0$

قاعدة تذكيرية: "الدالة الأسية تسحق كل شيء"، "اللوغاريتم يُسحق من طرف كل شيء". في $+\infty$، ترتيب الهيمنة هو: $\ln x\ll x^n\ll e^x$.

IV. حل معادلة بـ $\ln$ أو $\exp$

الطريقة 1: عزل $\ln$ أو $\exp$ وتطبيق الدالة العكسية

مثال: $\ln (x+2)=3$ ⟹ $x+2=e^3$ ⟹ $x=e^3-2$.
يجب التحقق من أن $x+2>0$ ! هنا $e^3-2+2=e^3>0$ ✓.

الطريقة 2: نضع $X=e^x$ (معادلة من نوع كثير الحدود في $X$)

مثال: $e^{2x}-3e^x+2=0$. نضع $X=e^x>0$: $X^2-3X+2=0$، $X\in \{1,2\}$. إذن $e^x=1$ أو $e^x=2$، أي $x=0$ أو $x=\ln 2$.

الطريقة 3: الانتقال إلى اللوغاريتمات

مثال: $5^x=7$ ⟹ $x\ln 5=\ln 7$ ⟹ $x=\frac{\ln 7}{\ln 5}$.

V. دراسة دالة بـ $\ln$ أو $\exp$

تبقى الطريقة هي نفسها الموجودة في دليل دراسة الدالة في 9 خطوات، مع خصوصيات:

1. مجموعة التعريف: بالنسبة لـ $\ln (u(x))$، نشترط $u(x)>0$.
2. النهايات عند الحدود: استعمال مكثف للنمو المقارن.
3. المشتقة: $(\ln u{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{u}$ و $(e^u{)}^{\prime }=u^{\prime }\cdot e^u$.
4. إشارة المشتقة: غالبا إشارة $u^{\prime }$ أو كثير حدود/خارج قسمة بسيط.

تمرين نموذجي باكالوريا العلوم الرياضية 2023 (مقتطف)

نص التمرين: لتكن $f(x)=(x-1)e^{-x}$ على $\mathbb{R}$.

1. احسب $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)$ و $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$.
2. احسب $f^{\prime }(x)$، ادرس إشارتها، أنجز جدول التغيرات.

الحل:

(1) في $+\infty$: $f(x)=\frac{x-1}{e^x}$. بالنمو المقارن، $\lim =0$.
في $-\infty$: $x-1\to -\infty$ و $e^{-x}\to +\infty$، إذن $f(x)\to -\infty$.

(2) $f^{\prime }(x)=1\cdot e^{-x}+(x-1)(-e^{-x})=e^{-x}(1-(x-1))=(2-x)e^{-x}$.

بما أن $e^{-x}>0$ دائما، فإن $f^{\prime }(x)$ لها نفس إشارة $2-x$. إذن $f$ تزايدية على $]-\infty ,2]$ وتناقصية على $[2,+\infty [$. القيمة القصوى عند $x=2$: $f(2)=e^{-2}$.

أهم 12 فخا حول ln/exp

1. نسيان شرط $u(x)>0$ بالنسبة لـ $\ln (u(x))$.
2. كتابة $\ln (a+b)=\ln a+\ln b$ (خطأ!).
3. كتابة $e^{a+b}=e^a+e^b$ (خطأ، الصحيح هو $e^a\cdot e^b$).
4. كتابة $\ln (-x)$ دون التحقق من أن $x<0$.
5. حساب $(\ln u{)}^{\prime }=\frac{1}{u}$ بدلا من $\frac{u^{\prime }}{u}$.
6. حساب $(e^u{)}^{\prime }=e^u$ بدلا من $u^{\prime }\cdot e^u$.
7. عدم التحقق من أن الحلول الموجودة تنتمي إلى مجموعة التعريف.
8. الخلط بين $\ln 0$ (غير موجود) و $\ln 1=0$.
9. نسيان أن $e^x>0$ لكل $x$ (إذن المعادلة $e^x=-2$ ليس لها حل).
10. سوء تطبيق النمو المقارن (ترتيب معكوس).
11. بالنسبة لـ $a^x$، نسيان كتابة $a^x=e^{x\ln a}$ قبل الاشتقاق.
12. الخلط بين المستقيم المقارب الشاقولي ($\ln x\to -\infty$ عند $0^{+}$) والنهاية في اللانهاية.

خطة الدراسة (أسبوع واحد)

• اليوم 1: الخاصيات الجبرية لـ ln و exp (10 حسابات).
• اليوم 2: النمو المقارن + 8 نهايات نموذجية.
• اليوم 3-4: معادلات ومتراجحات (10 تمارين، منها نوع التعويض).
• اليوم 5-6: 4 دراسات كاملة لدوال بـ ln/exp.
• اليوم 7: مسألة كاملة من امتحانات الباكالوريا السابقة.

انظر أيضا: دراسة دالة في 9 خطوات، log & exp (مختصر)، النهايات والاتصال.