دراسة شاملة لدالة: منهجية خطوة بخطوة

المراحل السبع للدراسة الكاملة

1. مجموعة التعريف $D_f$.
2. الزوجية، الدورية، التماثلات (إن وُجدت).
3. النهايات عند حدود $D_f$.
4. المشتقة $f^{\prime }(x)$ وإشارتها.
5. جدول التغيرات.
6. المستقيمات المقاربة والفروع اللانهائية.
7. رسم المنحنى $(C_f)$.

المرحلة 1 — المجال

حدد القيود: المقامات غير منعدمة، التعابير تحت الجذر $\ge 0$، التعابير داخل $\ln$ موجبة قطعا.

مثال. $f(x)=\frac{\ln (x-1)}{x-3}$ : يجب $x-1>0$ و $x-3\ne 0$، إذن $D_f=]1,3[\cup ]3,+\infty [$.

المرحلة 2 — التماثلات

• إذا كان $f(-x)=f(x)$ و $D_f$ متماثل: زوجية (تماثل محوري حول محور الفواصل).
• إذا كان $f(-x)=-f(x)$ و $D_f$ متماثل: فردية (تماثل مركزي حول نقطة الأصل).
• إذا كان $f(x+T)=f(x)$ : دورية دورها $T$ (مفيد للدوال المثلثية).

المرحلة 3 — النهايات

احسب النهايات عند حدود $D_f$ المفتوحة. للحالات غير المحددة، استعمل المقارنات والنهايات الاعتيادية (راجع بطاقة النهايات).

المرحلة 4 — المشتقة والإشارة

احسب $f^{\prime }(x)$ بقواعد الاشتقاق (راجع بطاقة المشتقات). ادرس إشارة $f^{\prime }(x)$ : عامل بعامل، أو بدراسة إشارة ثلاثية الحدود.

المرحلة 5 — جدول التغيرات

الجدول يلخص كل شيء: القيم عند الحدود، إشارة $f^{\prime }$، اتجاه تغير $f$، القيم الحدية المحلية. إنه القطعة الأساسية، المصحح يبحث عنه أولا.

المرحلة 6 — المستقيمات المقاربة

• مستقيم مقارب أفقي $y=L$ إذا كان $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f(x)=L$.
• مستقيم مقارب رأسي $x=a$ إذا كان $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=\pm \infty$.
• مستقيم مقارب مائل $y=ax+b$ : احسب $a=\lim \frac{f(x)}{x}$ ثم $b=\lim (f(x)-ax)$.

المرحلة 7 — الرسم

ضع المستقيمات المقاربة بخطوط متقطعة، النقط المميزة (القيم الحدية، نقط التقاطع مع المحاور)، ثم ارسم المنحنى محترما التغيرات.

الخطأ القاتل الذي يجب تجنبه

لا تنس أبدا ذكر $D_f$ في جدول التغيرات. إذا لم تكن $f$ معرفة عند $a$، ضع خطا عموديا مزدوجا واكتب « $a$ مستثناة ».

تريد التمرن؟

اذهب إلى دروس الثانية باكالوريا، فصل « دراسة الدوال ». كل تمرين محلول يتبع بالضبط هذه المراحل السبع.