الاحتمالات في باكالوريا العلوم الرياضية: دليل شامل

لماذا يُعتبر الاحتمال هدية في باكالوريا العلوم الرياضية

يرد الاحتمال في 60 إلى 70 % من مواضيع باكالوريا العلوم الرياضية بالمغرب، بقيمة 2 إلى 4 نقاط. الخبر السار: إنه من الفصول النادرة التي يبقى فيها الاستدلال في المتناول ويمكن استهداف 100 % بمنهجية واضحة. يقدم لك هذا الدليل الأدوات الخمس الأساسية.

I. تذكير بالعد (الصيغ الثلاث الواجب معرفتها)

قبل الاحتمال، العد. ثلاث حالات، ثلاث صيغ:

التباديل لـ $n$ عنصراً مختلفاً: $n!$ طريقة.
الترتيبات (سحوبات متتالية دون إرجاع، الترتيب مهم) لـ $p$ من بين $n$ : $A_{n}^{p} = \frac{n !}{( n - p )!}$ .
التوافيق (سحوبات آنية، الترتيب غير مهم) لـ $p$ من بين $n$ : $(p n) = \frac{n !}{p ! ( n - p )!}$ .

حيلة التمييز: "سحوبات متتالية دون إرجاع" → ترتيبات. "سحوبات آنية" أو "اختيار مجموعة جزئية" → توافيق. "مع إرجاع" → قوة $n^{p}$ .

II. الاحتمال الشرطي وصيغة بايس

التعاريف

$P (B ∣ A) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( A )}$ ، معرّف إذا كان $P (A) > 0$ .

ومنه صيغة الاحتمالات المركبة: $P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B ∣ A)$ .

صيغة الاحتمالات الكلية

إذا كانت $A_{1}, A_{2}, ..., A_{n}$ تشكل نظاماً كاملاً من الحوادث (تجزئة لـ $Ω$ ):

$P (B) = i = 1 \sum n P (A_{i}) \cdot P (B ∣ A_{i})$

صيغة بايس

$P (A_{k} ∣ B) = \frac{P ( A _{k} ) \cdot P ( B ∣ A _{k} )}{i \sum P ( A _{i} ) \cdot P ( B ∣ A _{i} )}$

حيلة باكالوريا العلوم الرياضية: حالما يعطيك الموضوع احتمالات من نوع "بشرط أن..." في اتجاه ويطلب منك الحساب في الاتجاه الآخر → إنها بايس.

III. استقلالية حادثتين

$A$ و $B$ مستقلتان إذا وفقط إذا $P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B)$ .

نتيجة: إذا كانتا مستقلتين و $P (A) > 0$ ، فإن $P (B ∣ A) = P (B)$ .

فخ كلاسيكي: "متنافيتان" ≠ "مستقلتان"! حادثتان متنافيتان مع $P (A) > 0$ و $P (B) > 0$ ليستا أبداً مستقلتين.

IV. المتغيرات العشوائية المنفصلة

قانون الاحتمال

متغير عشوائي $X$ يأخذ قيماً $x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}$ باحتمالات $p_{i} = P (X = x_{i})$ . قانون $X$ هو إعطاء الأزواج $(x_{i}, p_{i})$ . نتحقق دائماً من أن $\sum p_{i} = 1$ .

الأمل الرياضي، التباين، الانحراف المعياري

الأمل الرياضي: $E (X) = \sum x_{i} p_{i}$ (المتوسط النظري للقيم).
التباين: $V (X) = E (X^{2}) - E (X)^{2} = \sum (x_{i} - E (X))^{2} p_{i}$ .
الانحراف المعياري: $σ (X) = V (X)$ .

خاصيات أساسية: $E (a X + b) = a E (X) + b$ و $V (a X + b) = a^{2} V (X)$ .

V. القانون ذو الحدين $B (n, p)$ (قانون الباكالوريا بامتياز)

الإطار: نكرر $n$ مرة بشكل مستقل نفس التجربة ذات المآلين (نجاح باحتمال $p$ ، فشل باحتمال $1 - p$ ). $X$ = عدد النجاحات.

القانون: $P (X = k) = (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k}$ لـ $k \in {0, 1, ..., n}$ .

الأمل الرياضي والتباين: $E (X) = n p$ و $V (X) = n p (1 - p)$ .

تمرين نموذجي لباكالوريا العلوم الرياضية مصحح

الموضوع: صندوق يحتوي على 4 كرات حمراء و 6 كرات سوداء. نسحب متتالياً ودون إرجاع 3 كرات. ليكن $X$ عدد الكرات الحمراء المحصل عليها.

حدد قانون $X$ .
احسب $E (X)$ و $V (X)$ .

الحل: $X$ يأخذ القيم ${0, 1, 2, 3}$ .

$P (X = k) = \frac{( k 4 ) ( 3 - k 6 )}{( 3 10 )}$ (قانون فرط هندسي).

مع $(3 10) = 120$ :

$P (X = 0) = \frac{( 0 4 ) ( 3 6 )}{120} = \frac{20}{120} = \frac{1}{6}$
$P (X = 1) = \frac{( 1 4 ) ( 2 6 )}{120} = \frac{60}{120} = \frac{1}{2}$
$P (X = 2) = \frac{( 2 4 ) ( 1 6 )}{120} = \frac{36}{120} = \frac{3}{10}$
$P (X = 3) = \frac{( 3 4 ) ( 0 6 )}{120} = \frac{4}{120} = \frac{1}{30}$

التحقق: $\frac{1}{6} + \frac{1}{2} + \frac{3}{10} + \frac{1}{30} = \frac{5 + 15 + 9 + 1}{30} = 1$ ✓

$E (X) = 0 \cdot \frac{1}{6} + 1 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{3}{10} + 3 \cdot \frac{1}{30} = \frac{1}{2} + \frac{3}{5} + \frac{1}{10} = \frac{6}{5}$ .

أهم 10 أخطاء في الاحتمالات

نسيان التحقق من أن $\sum p_{i} = 1$ بعد تحديد قانون $X$ .
الخلط بين متنافيتان و مستقلتان.
نسيان شرط $P (A) > 0$ قبل كتابة $P (B ∣ A)$ .
عكس البسط والمقام في بايس.
الخلط بين الترتيبات والتوافيق (الترتيب مقابل عدم الترتيب).
تطبيق القانون ذي الحدين بينما السحوبات دون إرجاع (إذن ليست مستقلة).
نسيان $(k n)$ في صيغة ذي الحدين (يعطي فقط $p^{k} (1 - p)^{n - k}$ ).
حساب $E (X^{2})$ على أنه $E (X)^{2}$ (خطأ، إلا إذا كان $X$ ثابتاً).
كتابة $V (a X) = aV (X)$ بدلاً من $a^{2} V (X)$ .
نسيان عامل الترتيب في السحوبات المتتالية مع إرجاع.

خطة المراجعة (أسبوع واحد)

اليوم 1-2: العد (10 تمارين)، التمييز بين الحالات الثلاث.
اليوم 3: الاحتمالات الشرطية + الشجرة + بايس (6 تمارين).
اليوم 4: المتغيرات العشوائية: تحديد القانون، $E (X)$ ، $V (X)$ (4 تمارين).
اليوم 5: القانون ذو الحدين (4 تمارين).
اليوم 6-7: 3 مسائل كاملة نموذجية للباكالوريا.

انظر أيضاً: الحسابيات، منهجية البراهين الصارمة.