كيفية تحرير حساب نهاية ذات شكل غير محدد: الطريقة خطوة بخطوة

∞ الأشكال غير المحددة الأربعة في المقرر

في باكالوريا العلوم الرياضية، ستواجه 4 أشكال غير محددة رئيسية :

∞ − ∞ (لانهايتان متعارضتان)
0 / 0 (البسط والمقام يؤولان إلى 0)
∞ / ∞ (خارج قسمة لانهايتين)
0 · ∞ (جداء عدد صغير لانهائيا وعدد كبير لانهائيا)

بالإضافة إلى 3 حالات خاصة : 1 $^{\infty}$ ، 0 $^{0}$ ، ∞ $^{0}$ ، نعالجها باستعمال اللوغاريتم.

📐 البنية الإلزامية (التي تمنحك نقاطا)

الخطوة 1. الحساب المباشر ← اكتشاف شكل غير محدد. اكتبه بوضوح : "لدينا شكل غير محدد من النوع ∞−∞".

الخطوة 2. تحويل جبري ملائم (وضع عامل مشترك، المرافق، المقارنة بين النمو...).

الخطوة 3. حساب نهاية العبارة المحولة.

الخطوة 4. استنتاج واضح : "إذن $l i m_{x \to a}$ f(x) = …".

🛠️ التقنيات الخمس الكلاسيكية الواجب إتقانها

1. وضع الحد الأكبر عاملا مشتركا (من أجل ∞ − ∞ و ∞ / ∞)

احسب  $l i m_{x \to + \infty}$  (x² − 3x + 1).

شكل غير محدد : ∞ − ∞.

نضع x² عاملا مشتركا (الحد الأكبر) :
x² − 3x + 1 = x²·(1 − 3/x + 1/x²)

 $l i m_{x \to + \infty}$  x² = +∞.
 $l i m_{x \to + \infty}$  (1 − 3/x + 1/x²) = 1.

بالجداء،  $l i m_{x \to + \infty}$  (x² − 3x + 1) = +∞.

2. الضرب في المرافق (من أجل ∞ − ∞ مع الجذور)

احسب  $l i m_{x \to + \infty}$  ( $s q r t x^{2} + 1$  − x).

شكل غير محدد : ∞ − ∞.

نضرب في المرافق :
( $s q r t x^{2} + 1$  − x) · ( $s q r t x^{2} + 1$  + x) / ( $s q r t x^{2} + 1$  + x)
= ((x²+1) − x²) / ( $s q r t x^{2} + 1$  + x)
= 1 / ( $s q r t x^{2} + 1$  + x)

 $l i m_{x \to + \infty}$  ( $s q r t x^{2} + 1$  + x) = +∞.
إذن  $l i m_{x \to + \infty}$  ( $s q r t x^{2} + 1$  − x) = 0.

3. تحليل خارج القسمة (من أجل 0/0)

احسب  $l i m_{x \to 2}$  (x² − 4) / (x − 2).

شكل غير محدد : 0/0.

نحلل البسط : x² − 4 = (x−2)(x+2).
(x² − 4) / (x − 2) = (x−2)(x+2) / (x−2) = x + 2 (من أجل x ≠ 2).

 $l i m_{x \to 2}$  (x + 2) = 4.

إذن  $l i m_{x \to 2}$  (x² − 4)/(x − 2) = 4.

4. المقارنة بين النمو (من أجل exp و log)

مبرهنات يجب حفظها بشكل مطلق :

$l i m_{x \to + \infty}$ e $^{x}$ /x $^{n}$ = +∞ من أجل كل n ≥ 0
$l i m_{x \to + \infty}$ ln(x)/x $^{n}$ = 0 من أجل كل n > 0
$l i m_{x \to 0^{+}}$ x $^{n}$ ·ln(x) = 0 من أجل كل n > 0
$l i m_{x \to - \infty}$ x $^{n}$ ·e $^{x}$ = 0 من أجل كل n ≥ 0

5. مبرهنة الحصر (التأطير)

احسب  $l i m_{x \to + \infty}$  (sin(x)/x).

من أجل كل x > 0، لدينا −1 ≤ sin(x) ≤ 1.
إذن −1/x ≤ sin(x)/x ≤ 1/x.

 $l i m_{x \to + \infty}$  (−1/x) = 0 و  $l i m_{x \to + \infty}$  (1/x) = 0.

حسب مبرهنة الحصر،
 $l i m_{x \to + \infty}$  sin(x)/x = 0.

⚠️ الأخطاء الخمسة التي تكلفك نقاطا

عدم كتابة "شكل غير محدد" عند اكتشاف واحد. المصحح يريد أن يرى أنك حددت الصعوبة.
القسمة/الضرب على 0 دون التحقق من أن المقسوم عليه غير معدوم.
الخلط بين $l im$ والنهاية من جهة اليمين/اليسار. $l i m_{x \to 0}$ 1/x غير موجودة، لكن $l i m_{x \to 0^{+}}$ 1/x = +∞.
نسيان ذكر المبرهنات : الحصر، المقارنة بين النمو، العمليات على النهايات. اذكر دائما المبرهنة المستعملة.
عدم الاستنتاج. برهان النهاية ينتهي دائما بـ "إذن $l i m_{x \to a}$ f(x) = …".