Rédiger un calcul de limite avec forme indéterminée : la méthode pas-à-pas

∞ Les 4 formes indéterminées au programme

Au bac SM, tu rencontres 4 formes indéterminées principales :

∞ − ∞ (deux infinis qui s'affrontent)
0 / 0 (numérateur et dénominateur tendent vers 0)
∞ / ∞ (rapport de deux infinis)
0 · ∞ (produit d'un infiniment petit et infiniment grand)

Plus 3 cas spécifiques : 1 $^{\infty}$ , 0 $^{0}$ , ∞ $^{0}$ , qu'on traite avec le logarithme.

📐 La structure obligatoire (qui rapporte des points)

Étape 1. Calcul direct → forme indéterminée détectée. L'écrire explicitement : "On a une forme indéterminée du type ∞−∞".

Étape 2. Transformation algébrique adaptée (factorisation, conjugué, croissance comparée…).

Étape 3. Calcul de la limite de l'expression transformée.

Étape 4. Conclusion explicite : "Donc $l i m_{x \to a}$ f(x) = …"

🛠️ Les 5 techniques classiques à maîtriser

1. Factorisation par le terme dominant (pour ∞ − ∞ et ∞ / ∞)

Calculer  $l i m_{x \to + \infty}$  (x² − 3x + 1).

Forme indéterminée : ∞ − ∞.

On factorise par x² (terme dominant) :
x² − 3x + 1 = x²·(1 − 3/x + 1/x²)

 $l i m_{x \to + \infty}$  x² = +∞.
 $l i m_{x \to + \infty}$  (1 − 3/x + 1/x²) = 1.

Par produit,  $l i m_{x \to + \infty}$  (x² − 3x + 1) = +∞.

2. Multiplication par le conjugué (pour ∞ − ∞ avec racines)

Calculer  $l i m_{x \to + \infty}$  ( $s q r t x^{2} + 1$  − x).

Forme indéterminée : ∞ − ∞.

On multiplie par le conjugué :
( $s q r t x^{2} + 1$  − x) · ( $s q r t x^{2} + 1$  + x) / ( $s q r t x^{2} + 1$  + x)
= ((x²+1) − x²) / ( $s q r t x^{2} + 1$  + x)
= 1 / ( $s q r t x^{2} + 1$  + x)

 $l i m_{x \to + \infty}$  ( $s q r t x^{2} + 1$  + x) = +∞.
Donc  $l i m_{x \to + \infty}$  ( $s q r t x^{2} + 1$  − x) = 0.

3. Factorisation du quotient (pour 0/0)

Calculer  $l i m_{x \to 2}$  (x² − 4) / (x − 2).

Forme indéterminée : 0/0.

On factorise le numérateur : x² − 4 = (x−2)(x+2).
(x² − 4) / (x − 2) = (x−2)(x+2) / (x−2) = x + 2 (pour x ≠ 2).

 $l i m_{x \to 2}$  (x + 2) = 4.

Donc  $l i m_{x \to 2}$  (x² − 4)/(x − 2) = 4.

4. Croissance comparée (pour les exp et log)

Théorèmes à mémoriser ABSOLUMENT :

$l i m_{x \to + \infty}$ e $^{x}$ /x $^{n}$ = +∞ pour tout n ≥ 0
$l i m_{x \to + \infty}$ ln(x)/x $^{n}$ = 0 pour tout n > 0
$l i m_{x \to 0^{+}}$ x $^{n}$ ·ln(x) = 0 pour tout n > 0
$l i m_{x \to - \infty}$ x $^{n}$ ·e $^{x}$ = 0 pour tout n ≥ 0

5. Théorème des gendarmes (encadrement)

Calculer  $l i m_{x \to + \infty}$  (sin(x)/x).

Pour tout x > 0, on a −1 ≤ sin(x) ≤ 1.
Donc −1/x ≤ sin(x)/x ≤ 1/x.

 $l i m_{x \to + \infty}$  (−1/x) = 0 et  $l i m_{x \to + \infty}$  (1/x) = 0.

D'après le théorème des gendarmes,
 $l i m_{x \to + \infty}$  sin(x)/x = 0.

⚠️ Les 5 erreurs qui coûtent des points

Ne pas écrire "Forme indéterminée" quand on en détecte une. Le correcteur veut voir que tu as identifié la difficulté.
Diviser/multiplier par 0 sans vérifier que le diviseur est non nul.
Confondre $l im$ et limite par valeurs supérieures/inférieures. $l i m_{x \to 0}$ 1/x n'existe pas, mais $l i m_{x \to 0^{+}}$ 1/x = +∞.
Oublier de citer les théorèmes : gendarmes, croissance comparée, opérations sur les limites. Toujours nommer le théorème utilisé.
Ne pas conclure. Une démonstration de limite finit toujours par "Donc $l i m_{x \to a}$ f(x) = …".

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