كتابة الأعداد العقدية: التحويلات بين الصيغ، المعادلات، المجموعات

i الأعداد المركبة: 3 لغات لموضوع واحد

يمكن كتابة عدد مركب z بثلاث طرق متكافئة :

• الشكل الجبري : z = a + ib (a, b ∈ ℝ)
• الشكل المثلثي : z = r·(cos θ + i·sin θ) حيث r = |z|, θ = arg(z)
• الشكل الأسي : z = r·e^(iθ)

غالبا ما يطلب منك الباكالوريا الانتقال من شكل إلى آخر. إليك كيفية القيام بذلك بشكل صحيح.

1️⃣ الانتقال من الشكل الجبري ← المثلثي/الأسي

اكتب z = 1 + i√3 على الشكل المثلثي.

|z| = $sqrt{1}^2+(\surd 3$²) = √4 = 2.

z = 2·(1/2 + i·√3/2)
  = 2·(cos(π/3) + i·sin(π/3))

الشكل المثلثي: z = 2·(cos(π/3) + i·sin(π/3))
الشكل الأسي: z = 2·e^(iπ/3)

نصيحة : لإيجاد arg(z)، تعرف على cos θ و sin θ من بين القيم الشهيرة (0, π/6, π/4, π/3, π/2…). إذا لم تكن مباشرة، احسب tan(θ) = b/a.

2️⃣ الضرب والقسمة (صيغة دو موافر)

3️⃣ حل معادلة z² = a + ib

حل المعادلة z² = 3 + 4i.

لنفرض z = x + iy. إذن z² = (x² − y²) + 2xy·i.

المعادلة z² = 3 + 4i تكافئ الجملة:
  x² − y² = 3       (الأجزاء الحقيقية)
  2xy = 4           (الأجزاء التخيلية)
  x² + y² = |z²| = |3+4i| = 5  (المعاملات)

من (1) + (3): 2x² = 8 ⟹ x² = 4 ⟹ x = ±2.
من (3) − (1): 2y² = 2 ⟹ y² = 1 ⟹ y = ±1.

حسب (2)، x و y لهما نفس الإشارة (2xy > 0).

إذن z = 2 + i  أو  z = −2 − i. ∎

القاعدة الذهبية : 3 معادلات (الجزء الحقيقي، الجزء التخيلي، المعامل) تكفي في أغلب الأحيان. لا تحاول "الجذر التربيعي لعدد مركب" دون جملة معادلات.

4️⃣ المجموعات النقطية (أصعب سؤال في باكالوريا العلوم الرياضية)

نموذج السؤال : "حدد مجموعة النقط M ذات اللاحقة z بحيث |z − 1| = |z + i|."

لتكن M(z), A(1), B(−i).
|z − 1| = AM, |z + i| = BM.

|z − 1| = |z + i| ⟺ AM = BM
                  ⟺ M على المحور المتوسط للقطعة [AB].

التحقق الجبري: لنضع z = x + iy.
|z − 1|² = (x−1)² + y² = x² − 2x + 1 + y²
|z + i|² = x² + (y+1)² = x² + y² + 2y + 1

المساواة: −2x + 1 = 2y + 1 ⟺ y = −x.

الخلاصة: مجموعة النقط M هي المستقيم ذو المعادلة y = −x،
          وهو فعلا المحور المتوسط للقطعة [AB].

⚠️ الأخطاء الشائعة الخمسة

1. حساب المعامل بشكل خاطئ : |a + ib| = $sqrt{a}^2+b^2$، وليس a + b ولا a² + b².
2. الخلط بين المرافق والمعاكس : z̄ = a − ib، بينما −z = −a − ib.
3. عمدة خاطئة للأعداد المركبة ذات الأجزاء السالبة. تحقق دائما من الربع.
4. قسمة الأعداد المركبة دون ضرب بمرافق المقام.
5. نسيان الاستنتاج "إذن z = …" أو "إذن المجموعة هي…" بعد البرهان.

🎓 القيم الشهيرة الواجب حفظها

e^(i·0)    = 1            (المحور الحقيقي الموجب)
e^(iπ/6)   = √3/2 + i/2
e^(iπ/4)   = √2/2 + i·√2/2
e^(iπ/3)   = 1/2 + i·√3/2
e^(iπ/2)   = i            (المحور التخيلي الموجب)
e^(iπ)     = −1           (المحور الحقيقي السالب)
e^(i·3π/2) = −i           (المحور التخيلي السالب)
e^(i·2π)   = 1            (دورة كاملة)

مقالات ذات صلة : الدليل الشامل للأعداد المركبة, كيفية الاستشهاد بمبرهنة.