Rédiger les nombres complexes : passages entre formes, équations, lieux

i Les complexes : 3 langages pour un objet

Un nombre complexe z peut s'écrire de 3 manières équivalentes :

Forme algébrique : z = a + ib (a, b ∈ ℝ)
Forme trigonométrique : z = r·(cos θ + i·sin θ) avec r = |z|, θ = arg(z)
Forme exponentielle : z = r·e^(iθ)

Le bac te demande souvent de passer d'une forme à l'autre. Voici comment le faire proprement.

1️⃣ Passage forme algébrique → trigo/exponentielle

Écrire z = 1 + i√3 sous forme trigonométrique.

|z| =  $s q r t 1^{2} + (\sqrt3$ ²) = √4 = 2.

z = 2·(1/2 + i·√3/2)
  = 2·(cos(π/3) + i·sin(π/3))

Forme trigonométrique : z = 2·(cos(π/3) + i·sin(π/3))
Forme exponentielle : z = 2·e^(iπ/3)

Astuce : pour trouver arg(z), reconnaître cos θ et sin θ parmi les valeurs remarquables (0, π/6, π/4, π/3, π/2…). Si pas immédiate, calculer tan(θ) = b/a.

2️⃣ Multiplication et division (formule de De Moivre)

Règles clés :

z₁·z₂ = r₁r₂ · e^(i(θ₁+θ₂)) (modules multipliés, arguments ajoutés)
z₁/z₂ = (r₁/r₂) · e^(i(θ₁−θ₂))
zⁿ = rⁿ · e^(inθ) — formule de De Moivre
z̄ = r · e^(−iθ) (conjugué = argument opposé)

3️⃣ Résoudre une équation z² = a + ib

Résoudre z² = 3 + 4i.

Soit z = x + iy. Alors z² = (x² − y²) + 2xy·i.

L'équation z² = 3 + 4i équivaut au système :
  x² − y² = 3       (parties réelles)
  2xy = 4           (parties imaginaires)
  x² + y² = |z²| = |3+4i| = 5  (modules)

De (1) + (3) : 2x² = 8 ⟹ x² = 4 ⟹ x = ±2.
De (3) − (1) : 2y² = 2 ⟹ y² = 1 ⟹ y = ±1.

D'après (2), x et y sont de même signe (2xy > 0).

Donc z = 2 + i  ou  z = −2 − i. ∎

Règle d'or : 3 équations (Re, Im, module) suffisent presque toujours. Ne tente pas la "racine carrée d'un complexe" sans système.

4️⃣ Lieux géométriques (la question la plus difficile du bac SM)

Énoncé type : "Déterminer le lieu des points M d'affixe z tels que |z − 1| = |z + i|."

Méthode standard :

Interpréter géométriquement chaque module : |z − a| = AM où A est le point d'affixe a
Reconnaître la figure géométrique (cercle, médiatrice, droite, …)
Confirmer algébriquement en posant z = x + iy

Soit M(z), A(1), B(−i).
|z − 1| = AM, |z + i| = BM.

|z − 1| = |z + i| ⟺ AM = BM
                  ⟺ M sur la médiatrice de [AB].

Vérification algébrique : posons z = x + iy.
|z − 1|² = (x−1)² + y² = x² − 2x + 1 + y²
|z + i|² = x² + (y+1)² = x² + y² + 2y + 1

Égalité : −2x + 1 = 2y + 1 ⟺ y = −x.

CONCLUSION : le lieu de M est la droite d'équation y = −x,
              qui est bien la médiatrice de [AB].

⚠️ Les 5 erreurs typiques

Mal calculer le module : |a + ib| = $s q r t a^{2} + b^{2}$ , pas a + b ni a² + b².
Confondre conjugué et opposé : z̄ = a − ib, et −z = −a − ib.
Argument incorrect pour les complexes à parties négatives. Toujours vérifier le quadrant.
Diviser des complexes sans multiplier par le conjugué du dénominateur.
Oublier de conclure "donc z = …" ou "donc le lieu est…" après une démonstration.

🎓 Les valeurs remarquables à mémoriser

e^(i·0)    = 1            (axe réel positif)
e^(iπ/6)   = √3/2 + i/2
e^(iπ/4)   = √2/2 + i·√2/2
e^(iπ/3)   = 1/2 + i·√3/2
e^(iπ/2)   = i            (axe imaginaire positif)
e^(iπ)     = −1           (axe réel négatif)
e^(i·3π/2) = −i           (axe imaginaire négatif)
e^(i·2π)   = 1            (un tour complet)

Articles connexes : guide ultime nombres complexes, comment citer un théorème.