مارينا فيازوفسكا: ميدالية فيلدز 2022 لتكديس الكرات في 8 أبعاد

تكديس الكرات: مسألة قديمة قدم الإنسانية

رتّب برتقالات في صندوق. ما هي الطريقة التي تسمح بوضع أكبر عدد منها؟ الجواب الحدسي (على شكل هرم) صحيح في الفضاء ثلاثي الأبعاد: إنه التكديس المكعبي ذو الأوجه المركزية، الذي يشغل حوالي 74% من الحجم. هذا الحدس تم إثباته بصرامة من طرف توماس هيلز سنة 1998 — والبرهان، الطويل والمثير للجدل، لم يتم التحقق منه رسميًا بواسطة الحاسوب إلا في 2017.

في الأبعاد الأعلى، تصبح المسألة كابوسية. كم عدد الكرات الوحدوية التي يمكن تكديسها في ${\mathbb{R}}^n$ دون أن تتداخل، لكل وحدة حجم؟

بالنسبة لمعظم الأبعاد، لا نعرف الجواب. لكن في 2016، مارينا فيازوفسكا حلّت حالتين استثنائيتين: البُعد 8 و(بالتعاون مع Cohn وKumar وMiller وRadchenko) البُعد 24.

معجزة الـ 23 صفحة

لفهم لماذا نتيجة فيازوفسكا استثنائية، يجب أن نفهم أن الرياضيين كانوا يبحثون عن «دالة سحرية»: دالة $f$ على ${\mathbb{R}}^8$ بحيث:

• $f(0)=\hat{f}(0)$ (حيث $\hat{f}$ هي تحويلة فورييه للدالة $f$)،
• $f\le 0$ على مناطق محددة بدقة،
• $\hat{f}\ge 0$ في كل مكان.

إذا وُجدت مثل هذه الدالة، فإنها تعني أن التكديس المُحقَّق بواسطة الشبكة $E_8$ (كائن رياضي استثنائي، مرتبط بجبريات لي) هو الأمثل. لم يكن أحد يعرف كيف يبني هذه الدالة.

اكتشفت فيازوفسكا أنه يمكن الحصول عليها انطلاقًا من الأشكال النمطية — مجال ليس له علاقة ظاهرة بالمسألة. بناؤها، في 23 صفحة، طبيعي وأنيق لدرجة أن الكثيرين وصفوه بـ«السحر الخالص». كتب الرياضي Henry Cohn: «عندما قرأت البرهان، شعرت وكأنني أشهد معجزة».

لماذا فقط 8 و24؟

هذان البُعدان مرتبطان بشبكات استثنائية: $E_8$ (البُعد 8) وشبكة ليتش (البُعد 24). هذه الكائنات لها تناظرات مثالية لدرجة أنها تشكل «نقاط حدية» طبيعية. في هذين البُعدين بالضبط تنجح طريقة فيازوفسكا.

في البُعد 3، لدينا برهان هيلز (بالحساب). في البُعدين 8 و24، لدينا فيازوفسكا. بالنسبة لجميع الأبعاد الأخرى (4، 5، 6، 7، 9، 10، ...)، المسألة لا تزال مفتوحة.

الدرس: التوحيد

الدرس الكبير من برهان فيازوفسكا: فكرة قادمة من مجال ما يمكن أن تحل مسألة في مجال آخر، شريطة أن تكون لديك رؤية شاملة.

بالنسبة لتلميذ باكالوريا العلوم الرياضية، هذا يعني: لا تعزل الفصول عن بعضها. سؤال في الحسابيات يمكن حله بالأعداد العقدية (مبرهنة ويلسون). سؤال في التحليل يمكن حله بالمتتاليات. بناء جسور بين الفصول هو ما يميز الجيدين جدًا عن الممتازين.

الجديد: البرهان المُشَكَّل رسميًا في 2024

في 2024، أتمّ فريق من الرياضيين ومهندسي الذكاء الاصطناعي (مشروع Math.inc) الشكلنة بنظام Lean لبرهان فيازوفسكا. هذا يعني: كل خطوة من البرهان تم التحقق منها بواسطة الحاسوب وصولًا إلى بديهيات نظرية المجموعات. البرهان لم يعد فقط «مقبولًا»، بل أصبح مُصادَقًا عليه رياضيًا.

هذا هو مستقبل البراهين الكبرى: إنسانية في الإبداع، آلية في التحقق.

والجانب الإنساني

وُلدت مارينا فيازوفسكا في أوكرانيا سنة 1984. في 2022، عند تسلّمها ميدالية فيلدز، كان بلدها في حالة حرب. كانت عائلتها قد فرّت من كييف. أصبحت ثاني امرأة في التاريخ تحصل على ميدالية فيلدز، بعد مريم ميرزاخاني في 2014. إلهام فكري وإنساني معًا.

انظر أيضًا: كيفية تحرير برهان، الأعداد العقدية.